已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 02:47:05

因为 AB=BA
所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB
所以 AB 是对称矩阵.
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.
故 AB = P^TPQ^TQ
而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似
故 AB 正定.
再问： QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) ，关于这一步，老师，我认为应该是 QABQ^-1=...=QP^TPQ^T=(PQ^T)^TPQ^T才对吧？而且，为什么能判定(PQ^T)^TPQ^T正定？谢谢！
再答：你说的对, 我忘加转置符号了! 因为它与单位矩阵合同, 所以正定. 相当于可以表示为 C^TC 的形式(C可逆)

已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 大学线性代数:已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵. 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. A,B都为n阶正定矩阵,证明:AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA. 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵 a,b为两个n阶正定矩阵,且ab=ba证明ab也是正定矩阵,我想问如图答案的第一行最后一行怎么弄的,为什么ab=ba就能 A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵 A,B为n阶复矩阵,A半正定, A^rB=BA^r证明AB=BA 设A,B为n阶实正定矩阵,AB=BA且A^2=B^2,证明A=B. 关于正定矩阵的急设A为n阶实对称矩阵证明 B=I+A的平方为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为设A,B均为正定矩阵,则AB正定当且仅当AB=BA 已知A是n阶正定矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.