已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线与圆x^2+y^2=1交于P,Q两点

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 09:19:01

已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线与圆x^2+y^2=1交于P,Q两点
若向量OP*向量向量OQ=-1/2,求直线l的方程
若三角形OMP与三角形OPQ的面积相等求直线l的斜率

已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线与圆x²+y²=1交于P,Q两点；若向量OP▪OQ=-1/2,求直线L的方程;若△OMP与△OPQ的面积相等,求直线L的斜率.
设过点M(-2,0)的直线L的方程为y=k(x+2),代入园的方程得：
x²+k²(x+2)²-1=(1+k²)x²+4k²x+4k²-1=0；设P(x₁,y₁)；Q(x₂,y₂)；则依维达定理,有等式：
x₁+x₂=-4k²/(1+k²)
x₁x₂=(4k²-1)/(1+k²)
y₁y₂=[k(x₁+2)][k(x₂+2)]=k²[x₁x₂+2(x₁+x₂)+4]=k²[(4k²-1)/(1+k²)-8k²/(1+k²)+4]=3k²/(1+k²)
y₁+y₂=k(x₁+2)+k(x₂+2)=k(x₁+x₂)+4k=-4k³/(1+k²)+4k=4k/(1+k²)
故OP▪OQ=x₁x₂+y₁y₂=(4k²-1)/(1+k²)+3k²/(1+k²)=(7k²-1)/(1+k²)=-1/2
即有14k²-2=-1-k²,15k²=1,故k=±√(1/15)；于是得L的方程为y=±[√(1/15)](x+2).
要使△OMP与△OPQ的面积相等,只需使点P成为MQ的中点就可以了.故由中点坐标公式得：
x₁=(x₂-2)/2,即x₂=2x₁+2,
y₁=y₂/2,即y₂=2y₁,；
y₁+y₂=3y₁=4k/(1+k²),故y₁=4k/[3(1+k²)]；
△OMP的面积=(1/2)×2y₁=y₁=4k/[3(1+k²)]；
△OPQ的面积=(1/2)∣PQ∣h,其中h是原点到直线L的距离,即△OPQ在PQ边上的高；弦长
∣PQ∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{(1+k²)[16k⁴/(1+k²)²-4(4k²-1)/(1+k²)]}=√[(4-12k²)/(1+k²)]；
h=∣2k∣/√(1+k²)；
故△OPQ的面积=(1/2)√[(4-12k²)/(1+k²)][∣2k∣/√(1+k²)]；
于是得4k/[3(1+k²)]=(1/2)√[(4-12k²)/(1+k²)][∣2k∣/√(1+k²)]
化简得 16k²=9k²(4-12k²)/(1+k²)
即有16(1+k²)=9(4-12k²),124k²=20,故得k²=20/124=5/31,于是得k=±√(5/31)

已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线与圆x^2+y^2=1交于P,Q两点已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线与圆x^2+y^2=1交于P,Q两已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线l与圆x^2+y^2=1交于P,Q两点圆锥曲线已知O是平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线l与圆x^2+y^2=1交于P,Q两点,若op向量*oq向已知O为平面直角坐标系的原点,过点M（-2,0）的直线l与圆x^2+y^2=1交于PQ两点在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线E的方程为y^2=4x..过点P(4,0)的直线交抛物线E于C、D两点,求证以平面直角坐标系XOY中,已知圆O:X^2+Y^2=25,圆O1的圆心坐标为(m,0),且与圆O交于点P(3,4),过点P 已知P点(2,2),圆C：x^2+y^2-8y=0,过p的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=1/2x+2与y轴交于点A,点P在直线上,且满足△AOP为等腰三角形则这样的P 在平面直角坐标系中,已知圆x^2+y^2-8x+6=0过点P（0,2)且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点AB线段AB 如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为2-1，直线l：y=-x-2与坐标轴分别交于A、C两点，点B 已知过点p（0,2）的直线l与抛物线y∧2=4x交于a,b两点,o为坐标原点.