（2013•成都模拟）已知函数y=f（x），x∈N，y∈N，满足：①对任意a，b∈N*，a≠b，都有af（a）+bf

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/12 04:40:54

（2013•成都模拟）已知函数y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，满足：①对任意a，b∈N^*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②对任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（I）试证明：f（x）为N^*上的单调增函数；
（II）求f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令a_n=f（3ⁿ），n∈N^*，试证明：.

4n+2

≤

（I）由①知，对任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N^*上的单调增函数．
（II）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N^*，
从而a=2，即f（1）=2．
进而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，
因此f（28）=54+1=55．
从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．
（III）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴a_n=6×3^n-1=2×3ⁿ（n=1，2，3）．
于是
1
a1+
1
a2++
1
an＝
1
2(
1
3+
1
32++
1
3n)＝
1
2×

1
3(1−
1
3n)
1−
1
3＝
1
4(1−
1
3n)，
显然
1
4(1−
1
3n)＜
1
4，
另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+C_n¹×2+C_n²×2²++C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n，
从而
1
4(1−
1
3n)≥
1
4(1−
1
2n+1)＝
n
4n+2．
综上所述，
n
4n+2≤
1
a1+
1
a2++
1
an＜
1
4．

（2013•成都模拟）已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意a，b∈N*，a≠b，都有af（a）+bf （2013•成都模拟）已知函数y=f（x）,x∈N*,y∈N*,满足：①对任意a,b∈N*,a≠b,都有af 已知函数y=f(x).(x、y∈N+),满足（1）对任意a、b∈N+,a≠b都有af(a)+bf(b)＞af(b)+bf 已知函数y=f(x),满足：对任意a,b∈R,都有af(a)+bf(b)>af（b)+bf(a).(1)试证明：f(x) 已知函数y=f(x),满足：对任意a,b∈R,都有af(a)+bf(b)>af（b)+bf(a).试证明：f(x)为R上已知函数f（x）满足：对任意实数a,b有f（ab）=af(b)+bf(a),且绝对值f(x) 已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n，且f（x）是增函数，则f（3）=___ 已知函数f（x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的a,b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a）已知实数a、b、x、y满足对任意正整数n,均有ax&n+by&n=1+2&（n+1）.试确定（并予证明）x&a+y&b的已知y=f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a）．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a） (1)求f（0 已知函数y=f(x),对于任意实数a,b.都有f(ab)=af(b)+bf(a)成立.