一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方,则称正整数a为完全平方数.如64=82,64就是一个完全平方数；若20122+

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 17:20:54

一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方,则称正整数a为完全平方数.如64=82,64就是一个完全平方数；若20122+20122*20132+20132,求证：a是一个完全平方数

a=2012^2+2012^2*2013^2+2013^2
=2012^2+2012^2*(2012+1)^2+2013^2
=2012^2+2012^2*(2012^2+2*2012+1)+2013^2
=(2012^2)^2+2012^2*(1+2*2012+1)+2013^2
=(2012^2)^2+2012^2*2*2013+2013^2
=(2012^2+2013)^2
所以a是一个完全平方数
再问：请问一下 =2012^2+2012^2*(2012^2+2*2012+1)+2013^2 =(2012^2)^2+2012^2*(1+2*2012+1)+2013^2 这两部怎么过度，就是(2012^2+2*2012+1)如何变为2012^2*(1+2*2012+1）
再答：设2012为X =x^2+x^2*(x+1)^2+(x+1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = ( x^2 + x + 1 )^2 这样是不是清楚些
再问： x^2+x^2*(x+1)^2+(x+1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 这两步还是不解
再答： x^2+x^2*(x+1)^2+(x+1)^2 =x^2+x^2(x^2+2x+1)+x^2+2x+1 =x^2+x^4+2x^3+x^2+x^2+2x+1 =x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1
再问：那为什么 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = ( x^2 + x + 1 )^2 对不起麻烦太久了
再答：根据平方公式:（a+b+c)平方=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc ( x^2 + x + 1 )^2= x^4 + x^2 + 1+2x^3+2x^2+2x= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1