函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 15:37:23

函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,
问的是
则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何

当x≠0,y=0时得到
f(0)=[f(x)+f(0)]/x
即f(x)=(x-1)*f(0)
令x=1得f(1)=0
令x=-1得f(-1)=-2*f(0)
当x=y≠0时
f(x^2)=f(x)/x
即f(x)=x*f(x^2)
用-x代x,f(-x)=-x*(x^2)=-f(x)
∴对于x≠0,有f(-x)=-f(x)
令上式x=1得f(-1)=-f(1)=0
∵f(-1)=-2*f(0)
∴f(0)=0
而当x≠0时,有f(x)=(x-1)*f(0)
∴x≠0时,f(x)=0
而f(0)=0
∴对于任意x∈R,f(x)=0
f(x)=f(-x)=-f(-x)恒成立.
∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
另外,题目条件说f(x)的值域为R,显然是错误的.
所以这个题目有问题.

函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)恒成立已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立 f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当已知函数满足对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x2,证明x 函数f(x)的定义域为R,对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)恒成立, 已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值. 已知函数f(x）对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值已知函数满足对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2成立已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立函数f(x)是定义在R上的函数,且对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+3成立且f(-1)=0 设函数y=f(x) (x属于R,且x不等于0)对任意非零实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意实数x恒有2f(x)+f(-x)+2^x=0成立,