双曲线C与椭圆x2/8+y2/4=1有相同的焦点直线y=√3 x为C的一条渐近线 1) 求双曲线的方程.2) 过点P(0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 00:15:37

双曲线C与椭圆x2/8+y2/4=1有相同的焦点直线y=√3 x为C的一条渐近线 1) 求双曲线的方程.2) 过点P(0 ,4)的
双曲线C与椭圆x2/8+y2/4=1有相同的焦点直线y=√3 x为C的一条渐近线
1) 求双曲线的方程.
2) 过点P(0 ,4)的直线与双曲线交于A 、B两点,交X轴于Q点(Q与C的顶点不重合)
当向量PQ=λ1向量QA+λ2向量QB且λ1+λ2=－8/3时,求Q点坐标

：（Ⅰ）设双曲线方程为 x2a2-y2b2=1
由椭圆 x28+y24=1
求得两焦点为（-2,0）,（2,0）,
∴对于双曲线C：c=2,又 y=3x为双曲线C的一条渐近线
∴ ba=3解得a2=1,b2=3,
∴双曲线C的方程为 x2-y23=1
（Ⅱ）由题意知直线l得斜率k存在且不等于零,设l的方程：y=kx+4,A（x1,y1）,B（x2,y2）
则 Q(-4k,0)
∵ PQ→=λ1QA→,
∴ (-4k,-4)=λ1(x1+4k,y1)．
∴ λ1=-4kx1+4k=-4kx1+4
同理λ2=- 4kx2+4,
所以 λ1+λ2=-4kx1+4-4kx2+4=-83．
即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）
又y=kx+4以及
x2-y23=1
消去y得（3-k2）x2-8kx-19=0．
当3-k2=0时,则直线l与双曲线得渐近线平行,不合题意,3-k2≠0．
由韦达定理有：
x1+x2=8k3-k2
x1x2=-193-k2
代入（*）式得k2=4,k=±2
∴所求Q点的坐标为（±2,0）．