已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）经过点P（4，15），且双曲线C的渐近线与圆x2+（y-3）2=4

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/25 22:19:34

已知双曲线C：

（1）∵双曲线C：
x2
a2−
y2
b2=1经过点P（4，
15），所以
16
a2−
15
b2＝1①．
∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x²+（y-3）²=4相切，
所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，
即
|3a|

b2+a2＝2，整理得5a²=4b²②．
联立①与②，解得

a2＝4
b2＝5，
∴双曲线C的方程为
x2
4−
y2
5＝1；
（2）由（1）得，c＝
a2+b2＝3，所以双曲线C的右焦点为F（3，0）．
设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，
所以|MF′|-|MF|=4，即
(x0+3)2+y02−
(x0−3)2+y02=4，
所以即
(x0+3)2+y02=
(x0−3)2+y02+4，
因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r₁=2；
以MF为直径的圆的圆心为(
x0+3
2，
y0
2)，半径为r2＝
1
2
(x0−3)2+y02，
所以两圆圆心之间的距离为d＝
(
x0+3
2)2+(
y0
2)2＝
1
2
(x0+3)2+y02．
因为d＝
1
2
(x0+3)2+y02＝
1
2[4+
(x0−3)2+y02]=2+
1
2
(x0−3)2+y02＝r1+r2，
∴以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切．

已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若|MF|=1，且双曲线已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）过点P(2，3)，且离心率为2，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足分已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（4，43），则该双曲线的离心率为（　　）已知双曲线x2a2−y2b2＝1 (a＞0，b＞0)，焦距2c=4，过点（2，3），已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且过P(5，1)，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足为已知点A是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点，F是抛物线的焦点，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线交于一点M（1，m），点&n 已知双曲线C：x2a2−y2b2＝I(a＞0，b＞)的离心率为3，右焦点为F，过点M（1，0）且斜率为1的直线与双曲线C 设双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（　　）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a2c与一条渐近线交于点A，△OAF的