已知函数f(x)＝12e2x−e(ex+e−x)−x．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 23:24:31

已知函数f(x)＝

（I）由题意得f′（x）=e^2x-e（e^x-e^-x）-（12分）=
1
ex(ex−e)(ex−1)(ex+1)，（3分）
则当e^x＜1或e^x＞e即x＜0或x＞1时f′（x）＞0，
当1＜e^x＜e即0＜x＜1时f′（x）＜0，
故函数f（x）在（-∞，0）与（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数，（5分）
则它的极大值为f(0)＝
1
2−2e，极小值为f(1)＝−
1
2e2−2．（7分）

（II）当a=1时，由（I）可知方程f(x)＝
f(−a)+f(a)
2在区间[-a，a]上最多只有两个根，故不符合题意．（9分）
又
f(−a)+f(a)
2＝
1
4(e2a+e−2a)−e(ea+e−a)，
设e^a+e^-a=t，则e^2a+e^-2a=t²-2，
设g(a)＝
f(−a)+f(a)
2＝
1
4t2−et−
1
2＝
1
4(t−2e)2−e2−
1
2，（11分）
当a=2时，g(2)−f(1)＝
1
4[(e2+e−2−2e)2−2e2+6]＜0，（这里可利用e≈2.7近似估算得出）
则方程f(x)＝
f(−a)+f(a)
2在区间[-a，a]上最多只有一个根．（13分）
当a≥3时，t=e^a+e^-a在a∈[3，+∞）上是增函数，
又t＞2e，则g（a）在a∈[3，+∞）上是增函数，则
f(−a)+f(a)
2≥
f(−3)+f(3)
2＞f(0)，
则方程f(x)＝
f(−a)+f(a)
2在区间[-a，a]上最多只有一个根．
故不存在正整数a，使得方程f(x)＝
f(−a)+f(a)
2在区间[-a，a]上有三个不同的实根．（15分）
解法2：设h(x)＝f(x)−
f(−a)+f(a)
2，则函数h（x）与f（x）具有相同的单调性，且h（x）的极大值为h（0），极小值为h（1），又h(−a)h(a)＝−
1
4[f(a)−f(−a)]2≤0，则h（x）区间[-a，a]上一定有零点，只有当h（0）＞0，h（1）＜0时才有可能出现三个零点，下面对正整数a进行讨论与验证（同上）．

已知函数f（x）=（x2+ax+b）•ex，其中e是自然对数的底数．函数f（x）在x＝−12和x＝32处取得极值．（2009•湖北模拟）已知函数f(x)＝12(ex+ex−2)（x＜1）（其中e是自然对数的底数）的反函数为f-1（x）（2010•深圳二模）已知函数f(x)＝(x2−3x+94)ex，其中e是自然对数的底数．已知函数f（x）=-x2+2ex+m-1，g（x）=x+e2x （x＞0）．（2014•汕尾二模）已知函数f(x)＝1x+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．已知函数y=e2x幂+e-x幂的导数已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．设函数f（x）=ex-e-x 已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g(x)＝(lnx−1)ex +x（其中e为自然对数的底）．已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=-x²+2ex+m,g(x)=x+e²/x(x>0) （2013•湛江二模）已知a＜2，f(x)＝x−alnx−a−1x，g(x)＝12x2+ex−xex．（注：e是自然对数