作业帮已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 18:16:27
已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（1）证明：∵f（x）=ex+e-x，
∴f（-x）=e-x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e-x-1）≤e-x-1，
∵x＞0，
∴ex+e-x-1＞0，
即m≤
e−x−1
ex+e−x−1在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex，（t＞1），则m≤
1−t
t2−t+1在（1，+∞）上恒成立，
∵
1−t
t2−t+1=-
t−1
(t−1)2+(t−1)+1=-
1
t−1+
1
t−1+1≥-
1
3，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-
1
3．
∴f（-x）=e-x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e-x-1）≤e-x-1，
∵x＞0，
∴ex+e-x-1＞0，
即m≤
e−x−1
ex+e−x−1在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex，（t＞1），则m≤
1−t
t2−t+1在（1，+∞）上恒成立，
∵
1−t
t2−t+1=-
t−1
(t−1)2+(t−1)+1=-
1
t−1+
1
t−1+1≥-
1
3，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-
1
3．
已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．
已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）
已知函数f(x)＝ex+aex(a∈R)（其中e是自然对数的底数）
（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．
已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）
设函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．
已知函数f(x)=ex-kx,x属于R（e是自然对数的底数）
（2010•深圳二模）已知函数f(x)＝(x2−3x+94)ex，其中e是自然对数的底数．
已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．
已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
已知函数f（x）=ex-x（e是自然数对数的底数）
（2014•石家庄二模）已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．