已知集合M是满足下列性质的函数f（x)的全体存在非零函数T，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 13:17:23

已知集合M是满足下列性质的函数f（x)的全体存在非零函数T，使得对任意x属于R，有f(x+T)=Tf（x）成立。证明函数f(x)=sinx属于M.... (2）函数f(x)=x是否属于M？说明理由

解题思路：函数f(x)是否属于集合M，要看f(x)是否满足集合M的“定义”，
解题过程：
同学你好，题中第（1）f(x)=sinx不属于M，我作了些修改。如对解答还有疑问，可在答案下方的【添加讨论】中留言，我收到后会尽快给你答复。感谢你的配合！祝你新年学习进步，心情愉快！
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.
（1）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.
（2）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；
解：（1）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.
当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，
只有T=

，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .
当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .
实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
（2）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=

最终答案：略