1：已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T,对于任意x∈R,有f(x+T）=Tf(x)成立.试判断

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 08:00:54

1：已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T,对于任意x∈R,有f(x+T）=Tf(x)成立.试判断函数f(x)=x是否属于集合M,并说明理由.
2：设计和M是由两个整数的平方差构成.
（1）请推断任意奇数与集合M的关系.
（2）关于集合M,你还可以得出一些什么样的结论?
3：设S是由一个整数与另一个整数的根号2倍的和构成.
（1）若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?
（2）对于S中的任意两个元素x1,x2,请问x1+x2,x1x2是否属于S?
能不能给出详细一点的分析？

1.假设f（x）=x属于集合M,则有x+T=Tx,x=T/T-1,若T=1,则x+1=x知T=1不成立；由T为非零常数及x=T/T-1知x也为常数,也就是说T不满足对任意x∈R,有f(x+T）=Tf(x)成立.故假设不成立,即函数f(x)=x不属于集合M.
2.（1）由（n+1）^2-n^2=2n+1 (n为自然数)知任意奇数均属于集合M；
（2）4n(n为整数)也均属于集合M.
3.（1）显然,对任意的整数a都有a=a+0*（2的平方根）,故a是集合S中的元素；
（2）设x1=a+b*（2的平方根）,x2=c+d*（2的平方根）,则
x1+x2=（a+b）+（b+d）*（2的平方根）,因为a、b、c、d均为整数,x1+x2=（a+b）+（b+d）*（2的平方根）满足S中的元素是由一个整数与另一个整数的根号2倍的和构成,故
x1+x2属于集合S；
同理,x1x2=（ac+2bd）+（ad+bc）*（2的平方根）,（ac+2bd）和（ad+bc）均为整数,同样满足S中的元素是由一个整数与另一个整数的根号2倍的和构成,故
x1x2属于集合S；
以上完全原创,不知有否帮助!