已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.（1）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 07:09:02

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.（1）
证明函数F(x)=sinπ属于M

22．⑴对于非零常数T,f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx．因为对任意x∈R,x+T= Tx不能恒成立,∴f(x)=
⑵因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组：有解,消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT=T．
于是对于f(x)=ax有故f(x)=ax∈M．
⑶当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M．
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数T,对任意x∈R,有
f(x+T)=T f(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx ．
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[－1,1],sin(kx+kT) ∈[－1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx ．成立,
只有T= ,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ, m∈Z ．
当T=－1时,sin(kx－k)=－sinkx 成立,即sin(kx－k+π)= sinkx 成立,
则－k+π=2mπ, m∈Z ,即k=－2(m－1)π, m∈Z ．
综合得,实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}.