求助两道有关数列极限的小题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 22:43:28

求助两道有关数列极限的小题
1,如果ak（k是角标,下同）是单调的,且西格玛k=1到正无穷（ak）收敛,试证明lim k趋近正无穷（k*ak）=0
2,如果ak是单调递减的,并且具有极限0,又对于一切k,bk=ak-2a（k+1）+a（k+2）大于等于0【小括号里是角标】,试证明西格玛k=1到正无穷（k*bk）=a1
跪谢~

1. 不妨设a[k]单调递减, 由∑{1 ≤ k} a[k]收敛有lim{k → ∞} a[k] = 0, 于是a[k] ≥ 0.
仍由∑{1 ≤ k} a[k]收敛, 根据Cauchy收敛准则, 可得lim{n → ∞} ∑{n+1 ≤ k ≤ 2n} a[k] = 0.
而a[k]单调递减, 故a[k] ≥ a[2n]对k = n+1, n+2,..., 2n成立.
于是0 ≤ 2n·a[2n] ≤ 2·∑{n+1 ≤ k ≤ 2n} a[k] → 0 (n → ∞).
进而0 ≤ (2n+1)·a[2n+1] ≤ (2n+1)·a[2n] → 0 (n → ∞).
可知lim{k → ∞} k·a[k] = 0.
2. 用Abel求和公式.
∑{1 ≤ k ≤ n} k·b[k] = ∑{0 ≤ k ≤ n} k·b[k]
= ∑{1 ≤ k ≤ n} (k-(k-1))·∑{k ≤ j ≤ n} b[j]
= ∑{1 ≤ k ≤ n} ∑{k ≤ j ≤ n} b[j].
而∑{k ≤ j ≤ n} b[j] = ∑{k ≤ j ≤ n} ((a[j]-a[j+1])-(a[j+1]-a[j+2])) = (a[k]-a[k+1])-(a[n+1]-a[n+2]).
代入得∑{1 ≤ k ≤ n} k·b[k]
= ∑{1 ≤ k ≤ n} ((a[k]-a[k+1])-(a[n+1]-a[n+2]))
= -n·(a[n+1]-a[n+2])+∑{1 ≤ k ≤ n} (a[k]-a[k+1])
= -(n+1)·(a[n+1]-a[n+2])+a[1]-a[n+1]
而0 ≤ b[k] = (a[k]-a[k+1])-(a[k+1]-a[k+2]), 即数列a[k]-a[k+1]单调递减.
又∑{1 ≤ k ≤ n} (a[k]-a[k+1]) = a[1]-a[n+1] → a[1] (n → ∞).
由第1题的结论有(n+1)·(a[n+1]-a[n+2]) → 0 (n → ∞).
故∑{1 ≤ k ≤ n} k·b[k] = -(n+1)·(a[n+1]-a[n+2])+a[1]-a[n+1] → a[1] (n → ∞) (a[n+1]也收敛到0).

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