设一动直线过点A(2,0)且与抛物线y=x^2+2相交于B,C两点,B,C在x轴上射影分别为B1,C1,P是线段BC上的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 05:52:49

设一动直线过点A(2,0)且与抛物线y=x^2+2相交于B,C两点,B,C在x轴上射影分别为B1,C1,P是线段BC上的点,且适合|BP|/|PC|=|BB1|/|CC1|,求三角形POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形

例5、动直线l过定点A(2,0),且与抛物线y=x2+2相交于不同的两点B和C,点B和C在x轴上的射影分别是B′和C′(如图),P是线段BC上的点,并满足关系式|BP|∶|PC|=|BB′|∶|CC′|,求POA的重心G的轨迹方程.
分析:本题是一道较复杂的轨迹综合题,动点G的位置取决于P点的位置,即P是G的相关点,又P在动直线l上,l绕定点A(2,0)而动,依前所述,选用斜率k为参数较合理,又相应点P在运动时,还要满足这一比值,这又出现了另一参数λ,为多元参数.
解答:设直线l的斜率为k,显然l与x轴垂直时,l与抛物线不可能有两个交点,故l的方程为y=k(x-2) .将它与抛物线方程联立,消去y得x2-kx+2+2k=0.
此方程有两个不同实根的充要条件是=k2-4(2+2k)=k2-8k-8=0.
解得,或. ①
设B、C两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=k,x1x2=2+2k. ②
令③设,依定比分点公式,有④设动点G的坐标为(x,y),则将④、③、②分别代入上式并注意到,
可得消去k得12x―3y―4=0.
另外,由可得,代入①,得,或.
解之得(并注意到y≠4).,若.
因此,POA的重心G的轨迹方程为12x-3y-4=0.
其中.
它表示一条除去端点及其点的线段.
点评:解决本题时,应充分注意所求轨迹方程中y的取值范围,这是最容易出现失误的,甚至可能发生根本不去求出k的范围,而误认为所求的轨迹方程为12x-3y-4=0.

设抛物线y平方=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A.B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行x轴,证直线AB过x轴上一点A(2,0),且与抛物线Y=aX^2相交于B,C两点,B点坐标为（1,1）求直线AB和抛物线的解析式设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直设抛物线 y2=2px （p＞0）的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A,B两点点C在抛物线的准线上且BC‖x轴如图,抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴相交于点A,P（2a,-4a2+7a+2）（a是实数）在抛物线上,直线y=kx 已知圆C:x^2+(y-3)^2=4,一动直线l过点A(-1,0),且与圆C相交于P,Q两点,若M为线段PQ的中点,l与（2014•南昌二模）抛物线C：x2=8y与直线y=2x-2相交于A，B两点，点P是抛物线C上不同A，B的一点，若直线P 设二次函数y=ax^2+bx+c(a,b,c均为实数)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且抛物线上所有的点中到直线y 直线l过抛物线y^2=29x(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1,y2),B(x2,y2)两点,点C在抛物线的准线已知直线AB过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax^2相交于B,C两点,点B的坐标(1,1) 已知A、B为抛物线x^2=2py（p＞0）上两点,直线A、B过焦点F,A、B在准线上的射影分别为C 设抛物线y^2=2x的焦点为F,过点M（根号3,0）的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交与C,|BF|=2