求解带初值的微分方程xy''-xy'-y=0y(0)=0,y'(0)=1

求解带初值的微分方程
xy''-xy'-y=0
y(0)=0,y'(0)=1

(xy)'=y+xy'
(xy)''=xy''+2y'
xy''-xy'-y=0
xy''=xy'+y
(xy)''-2y'=(xy)'
u=xy,v=y
u''-2v'=u'
u''-u'=2v'
两边积分得
u'-u=2v
u=C1e^v+e^(-v)+C
即xy=C1e^y+e(-y)+C
y(0)=0,即0=C1+1+C
再问： 方法很精彩，但是 从u'-u=2v 到u=C1e^v+e^(-v)+C好像有点没对，那是个一阶微分方程，你是套用的2阶常系数微分方程的公式？ 最后答案是xe^x，我看看能不能借你的方法算出了O(∩_∩)O
再答： 我没有解，观察得的通解和特解。
再问： 你的解答中好像没有得到y=xe^x哦
再答： 哈哈，这个题目到这个地方，观察得的通解和特解，然后再初值条件，不过y'好象可能带到前面去啊 (xy)''-2y'=(xy)'，带到这个地方解更方便啊。对了，就是代到这个地方解。
再问： 算了半天始终不对，终于发现问题在哪里了 u''-u'=2v' 两边积分得 u'-u=2v 这里得到的是du/dx-u=2v(x),不是du/dv-u=2v哦，就说怎么算出来的是错的.....
再答： 噢，我菜了
再问： 没事，你前面的方法很精彩，能再看看吗？谢了
再答： u''-u'=2v' 两边积分得 u'-u=2v 这一步两边对x积分有错误吗？我感觉u,v都是x的函数，同对x积分应该是可以的啊
再问： 积分是没有错，但是得到u'-u=2v后不能把这个方程看成u关于自变量v的一阶微分方程，因为 u'=du/dx而不是du/dv，因此u'-u=2v不能用常规一阶方程求解.....
再答： 那不要v如何？因为u=vx=xy,也就是y=u/x u'-u=2v u'-u=2u/x 即u'=u(1+2/x) 分离变量得 du/u=(1+2/x)dx 两边积分得 lnu=x+2lnx 取自然指数 u=e^x*x^2 xy=e^x*x^2 y=xe^x
再问： 你少写了一个常数，应该是u'-u=2u/x+C 分离变量得到的是 du/u=(1+2/x+C/u)dx .................
再答： 哈哈，对的啊。那个地方是不定积分！这次续的答案应该基本正确了。 (xy)'=y+xy' (xy)''=xy''+2y' xy''-xy'-y=0 xy''=xy'+y (xy)''-2y'=(xy)' 两边对x积分得 (xy)'-2y=xy+C 把y(0)=0代入得C＝0 即(xy)'-2y=xy (xy)'-2xy/x=xy (xy)'=xy(1+2/x) 分离变量得 (xy)'/xy=(1+2/x)dx 两边对x积分得 lnxy=x+2lnx+C 两边取自然指数得 xy=e^C*x^2*e^x y=e^C*xe^x y'=e^Ce^x+e^C*xe^x 把y'(0)=1代入得 1=e^C C=0 故y=xe^x