如图,D,E,F分别是三角形ABC的边AB,BC,CA的中点.求证AE、BF、CD相交於同一点G,且GA/AE=GB/B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 02:42:41

如图,D,E,F分别是三角形ABC的边AB,BC,CA的中点.求证AE、BF、CD相交於同一点G,且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3 （点G叫做三角形ABC的重心）.
要用向量的方法证明，AE、BF、CD相交於同一点G, 再证明：GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3

证明：设BF、CD交于点K.取BK中点M,CK中点N.连MN、DF、DM、FN.
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理,BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点.
令该点为G,则AE、BF、CD交于一点G.
再问：可以用向量的方法證明嗎？，剛學完嚮量
再答：可以，方法一样的，你只要把线段改成向量就好啦，不过，要注意向量的方向，别把字母写反了~ 还有就是，向量的长度不能直接写哦，要在向量外加绝对值~表示向量的模，再等于……
再问：詳細寫一次吧，還有第二個問題，沒有證出來
再答：小鬼，你多大？我不知道这是初中的还是高中的题~ 你要证明的是GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3，我已经证明出FK＝(1/3)BF，这不是一样的吗？好吧，你等等，我解给你~ 用草稿纸写给你好了，等会发图片给你……
再问：好，我在哪裡可以收到你的圖？我在學高一下學期的數學。
再答：小鬼，图片可能太大，上传失败，我还是用打字的给你吧~ 你自己画图哦…… 先画图, 在平面上任取一点O, 设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c 则向量OE=1/2（b+c),向量OD=1/2(a+b),向量OF=1/2(c+a). 再设G为AE上的三等分点，满足向量AG=2向量GE，则向量OG=1/3向量OA+2/3OE=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) 同理可证，G也是BF，CD的三等分点，因此三条中线交于点G。且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3~ 这样，你有明白吗？要是再不懂的话，我建议你去问问老师，毕竟老师跟你面对面的沟通，而且，老师了解你的理解能力，知道怎样用最简洁的话语让你明白……

如图,D,E,F分别是三角形ABC的边AB,BC,CA的中点.求证AE、BF、CD相交於同一点G,且GA/AE=GB/B 如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点．求证：AE、BF、CD相交于同一点G, 已知：点D、E、F分别是三角形ABC的边AB、BC、CA的中点,求证：AE、BF、CD相交于一点G, 在三角形ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA上的中点,AE、CD、BF相交点O 已知：如图,D,F,E分别是等边△ABC的边AB,BC,CA上的点,且AD=BE=CF,AE交CD于点P,BF分别交AE 如图,D,E,F分别是等边三角形ABC的边AB,BC,CA上的点,且AD=BE=CF,AE交CD于点P,BF分别交AE, 已知AE,BF,CD是三角形ABC的三条中线,且相交于点G,求证GE:GA=GF:GB=DG:GC=1:2 如图,在△ABC中,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点,且DE⊥DF,求证:AE+BF>EF. 如图，AE和CD分别是△ABC的边AB、BC上的中线，AE和CD相交于点G，GA=5cm，GD=2cm，GB=3cm，则已知,如图,点D,E,F,分别是等边三角形ABC的边AB,BC,CA上的点,且AD=BE=CF,AE交CD于点P,BF分如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证： .如题.如图,△ABC为等腰三角形,点D、E、F分别在边BC、CA、AB的延长线上,且CD=AE=BF.那么△DEF是什