作业帮证明(韦达定理的运用)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 11:15:52
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解题思路： 韦达定理的运用,结合讨论法
解题过程：
(1)设方程f(x)=0两个根为x1,x2
Δ=b^-4ac>0
由题得x1=c
根据韦达定理x1*x2=c/a
于是x2=1/a
由题得c≠1/a
若c>1/a
取x0=(x1+x2)/2代入f(x)得
f(x0)=(4ac-b^2)/4a<0
但是0<1/a<x0<c，由题得f(x0)>0产生矛盾
于是c<1/a,ac<1
(2)由韦达定理得
-b/a=x1+x2=c+1/a
即b=-ac-1
由(1)中0<c<1/a得0<ac<1
得-2<b<-1
(3)将b=-ac-1代入得：
a/(t+2)+b/(t+1)+c/t
=[a/(t+2)+c/t]-(ac+1)/(t+1)
=[at+c(t+2)]/(t^2+2t)-(ac+1)(t+1)/(t^2+2t+1)
>[at+c(t+2)]/(t^2+2t)-(ac+1)(t+1)/(t^2+2t)
=[(1-a)(c-1)t+(2-a)c-1]/(t^2+2t)
由于c>1,且由(2)中0<ac<1得
0<a<1
且t>0得(1-a)(c-1)t>0
(2-a)c-1>(2-a)-1=1-a>0
于是(1-a)(c-1)t+(2-a)c-1>0
即a/(t+2)+b/(t+1)+c/t>0得证
最终答案：略
解题过程：
(1)设方程f(x)=0两个根为x1,x2
Δ=b^-4ac>0
由题得x1=c
根据韦达定理x1*x2=c/a
于是x2=1/a
由题得c≠1/a
若c>1/a
取x0=(x1+x2)/2代入f(x)得
f(x0)=(4ac-b^2)/4a<0
但是0<1/a<x0<c，由题得f(x0)>0产生矛盾
于是c<1/a,ac<1
(2)由韦达定理得
-b/a=x1+x2=c+1/a
即b=-ac-1
由(1)中0<c<1/a得0<ac<1
得-2<b<-1
(3)将b=-ac-1代入得：
a/(t+2)+b/(t+1)+c/t
=[a/(t+2)+c/t]-(ac+1)/(t+1)
=[at+c(t+2)]/(t^2+2t)-(ac+1)(t+1)/(t^2+2t+1)
>[at+c(t+2)]/(t^2+2t)-(ac+1)(t+1)/(t^2+2t)
=[(1-a)(c-1)t+(2-a)c-1]/(t^2+2t)
由于c>1,且由(2)中0<ac<1得
0<a<1
且t>0得(1-a)(c-1)t>0
(2-a)c-1>(2-a)-1=1-a>0
于是(1-a)(c-1)t+(2-a)c-1>0
即a/(t+2)+b/(t+1)+c/t>0得证
最终答案：略