已知函数f(X)=x+a^2/x,g(x)=x+lnx,其中a>0
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/19 00:46:55
已知函数f(X)=x+a^2/x,g(x)=x+lnx,其中a>0
若对任意的x1,x2∈[1,e](e自然对数的底数)都有f(x1)>=g(x2)成立,求实数a的取值范围(求f(x)的最小值时怎样对a进行分类讨论呢,思路?)
若对任意的x1,x2∈[1,e](e自然对数的底数)都有f(x1)>=g(x2)成立,求实数a的取值范围(求f(x)的最小值时怎样对a进行分类讨论呢,思路?)
若对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立,f(x1)min≥g(x2)max,从而转化为分别求函数f(x),g(x)在[1,e]的最小值、最大值
对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立,等价于对任意的x1,x2∈[1,e]都有[f(x)]min≥[g(x)]max.
当x∈[1,e]时,g′(x)=1+1x>0.
∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数.
∴[g(x)]max=g(e)=e+1
∵ f′(x)=1-a2x2=(x+a)(x-a)x2,且x∈[1,e],a>0.
①当0<a<1且x∈[1,e]时,f′(x)=(x+a)(x-a)x2>0,
∴函数 f(x)=x+a2x在[1,e]上是增函数,
∴[f(x)]min=f(1)=1+a2.
由1+a2≥e+1,得a≥ e,
又0<a<1,∴a不合题意.
②当1≤a≤e时,
若1≤x<a,则 f′(x)=(x+a)(x-a)x2<0,
若a<x≤e,则 f′(x)=(x+a)(x-a)x2>0.
∴函数 f(x)=x+a2x在[1,a)上是减函数,在(a,e]上是增函数.
∴[f(x)]min=f(a)=2a.
由2a≥e+1,得a≥ e+12,
又1≤a≤e,∴ e+12≤a≤e.
③当a>e且x∈[1,e]时,f′(x)=(x+a)(x-a)x2<0,
∴函数 f(x)=x+a2x在[1,e]上是减函数.
∴ [f(x)]min=f(e)=e+a2e.
由 e+a2e≥e+1,得a≥ e,
又a>e,∴a>e.
综上所述,a的取值范围为 [(e+1)/2,+∞).
对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立,等价于对任意的x1,x2∈[1,e]都有[f(x)]min≥[g(x)]max.
当x∈[1,e]时,g′(x)=1+1x>0.
∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数.
∴[g(x)]max=g(e)=e+1
∵ f′(x)=1-a2x2=(x+a)(x-a)x2,且x∈[1,e],a>0.
①当0<a<1且x∈[1,e]时,f′(x)=(x+a)(x-a)x2>0,
∴函数 f(x)=x+a2x在[1,e]上是增函数,
∴[f(x)]min=f(1)=1+a2.
由1+a2≥e+1,得a≥ e,
又0<a<1,∴a不合题意.
②当1≤a≤e时,
若1≤x<a,则 f′(x)=(x+a)(x-a)x2<0,
若a<x≤e,则 f′(x)=(x+a)(x-a)x2>0.
∴函数 f(x)=x+a2x在[1,a)上是减函数,在(a,e]上是增函数.
∴[f(x)]min=f(a)=2a.
由2a≥e+1,得a≥ e+12,
又1≤a≤e,∴ e+12≤a≤e.
③当a>e且x∈[1,e]时,f′(x)=(x+a)(x-a)x2<0,
∴函数 f(x)=x+a2x在[1,e]上是减函数.
∴ [f(x)]min=f(e)=e+a2e.
由 e+a2e≥e+1,得a≥ e,
又a>e,∴a>e.
综上所述,a的取值范围为 [(e+1)/2,+∞).
已知函数f(x)=x-2/x,g(x)=a(2-lnx),a>0,
已知函数f(x)=lnx+a/x-2 g(x)=lnx+2x
已知函数f(x)=lnx-ax,g(x)=f(x)+f'(x),其中a>0
已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x^2+x)
已知函数g(x)=x/lnx,f(x)=g(x)-ax(a>0)
已知函数f(x)=e∧x+ax,g(x)=ax-lnx,其中a
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)
已知a>0,函数f(x)=ax^2-x,g(x)=lnx
已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x)..
已知函数f(x=x+a^2/x,g(x)=lnx.其中a>0 )若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实
已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F(x)=f(x)+g(x) 求F(x)的单调区间
已知函数f(x)=|x-a|-lnx(a>0)