（2010•河北区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱CC1的中点，Q是棱A1D1的中点，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 07:45:06

（2010•河北区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱CC₁的中点，Q是棱A₁D₁的中点，R是棱CD的中点，C₁Q与B₁D₁交于点E．
（Ⅰ）求证：C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）求证：B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）求三棱锥E-APD₁的体积．

（Ⅰ）证明：取AD₁的中点F，连接FQ，FP，则FQ平行且等于
1
2A1A，平行且等于C₁P，
∴PC₁QF是平行四边形，
∴C₁Q∥PF，
∵C₁Q⊄面APD₁，PF⊂面APD₁，
∴C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）证明：连接A₁D，C₁R，则
由正方体的性质可知，B₁R在面AA₁D₁D中的射影为A₁D，B₁R在面CC₁D₁D中的射影为C₁R
∵A₁D⊥AD₁，C₁R⊥D₁P
∴B₁R⊥AD₁，B₁R⊥D₁P，
∵AD₁∩D₁P=D₁，
∴B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知C₁Q∥面APD₁，
∴点E到平面APD₁的距离等于C₁到平面APD₁的距离，
∴VE−APD1=VC1−APD1=VA−PC1D1=
1
3S△PC1D1•AD=
1
12．