求一阶微分方程通解1.（1+x）y'=2e^(-y) -1;2.1+y'=e^y

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 15:09:44

求一阶微分方程通解
1.（1+x）y'=2e^(-y) -1;
2.1+y'=e^y

①（1+x）y'=2e^(-y) -1
则(1+x)dy/dx=2e^(-y) -1
dy/[2e^(-y) -1]=dx/(1+x)
两边积分得∫dy/[2e^(-y) -1]=∫dx/(1+x)
令e^(-y)=t,y=-lnt
∫dy/[2e^(-y) -1]
=-∫1/t(2t-1)dt
=-2∫(1/(2t-1)-1/2t)dt
=-∫1/(2t-1)d(2t-1)+∫1/2td2t
=ln|2t/(2t-1)|
=ln|2e^(-y)/[2e^(-y)-1]|+C1
=ln|2/(2-e^y)|+C1
∫dx/(1+x)
=ln|1+x|+C2
则ln|2/(2-e^y)|+C1=ln|1+x|+C2
ln|(2-e^y)(1+x)|=C1+ln2-C2
(2-e^y)(1+x)=±e^(C1+ln2-C2)=C
2-e^y=C(1+x)
②1+y'=e^y
1+dy/dx=e^y
dy/(e^y-1)=dx
两边积分得∫dy/(e^y-1)=∫dx
令e^y=t,得
∫1/(t-1)dlnt=∫dx
∫[1/(t-1)-1/t]dt=x
ln|(t-1)/t|=x+C1
ln|(e^y-1)/e^y|=x+C1
(e^y-1)/e^y=±e^(x+C1)=Ce^x
1-1/e^y=Ce^x

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