已知半球O的半径为1，它的内接长方体ABCD-A1B1C1D1的一个面ABCD在半球O的底面上，则该长方体ABCD-A1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 18:58:46

已知半球O的半径为1，它的内接长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一个面ABCD在半球O的底面上，则该长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大值为______．

令球心为O，底面边长为a，连接OA₁，OA，令OA₁与底面的夹角为α，则OA₁=1，则棱柱的高是sinα，底面正方形的对角线长的一半是cosα，即 2a=2cosα，由此得底面边长是 2cosα
故正四棱柱的体积是V=2cos2α×sinα=2cos2αsinα
V'=2（-2cosαsin2α+cos3α）=2osα（-2+3cos2α）
令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos2α=23，即sin2α=13，sinα=33
由此知正四棱柱体积的最大值为V=
4
3
9，
故答案为：
4
3
9

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O、O1分别为四边形ABCD、A1B1C1D1的中心, 一个正方体ABCD-A1B1C1D1,取AB中点o连接A1,C1求面A1C1O与底面A1B1C1D1形成的二面角在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分在正方体ABCD-A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心．如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=2，M是线段如图长方体ABCD ---A1B1C1D1,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱A 请在这里概述您的问题正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD中心,若棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积长方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球O的球面上,其中AB:AD:AA1=2:1:根号3, 已知正方形ABCD—A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点.求证：A1C⊥面AB1D1 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中棱长AA1=5,AB=12.求①A1到面ABCD距离；②A1到面B1BCC1的距离在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（　　）