作业帮求证相似三角形一些定理。
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 01:02:58
解题思路： 利用相似三角形的判定
解题过程：
已知：△ABC∽△A′B′C′，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，AF是∠BAC的角平分线，，A′D′是B′C′边上的高，A′E′是B′C′边上的中线，A′F′是∠B′A′C的角平分线 相似三角形对应高的比等于相似比
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
∵ AD⊥BC，A′D′⊥B′C′
∴ ∠ABD=∠A′B′D′
∴ Rt△ABD∽Rt△A′B′D′
∴ AD：A′D′=AB：A′B′ 相似三角形对应中线的比等于相似比
∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ AB：A′B′=BC ：B′C′，∠B=∠B′
∵ E、E′分别是BC，B′C′的中点
∴ AB：A′B′=BC： B′C′= ：B′E′
∵ ∠B=∠B′
∴ △ABE∽△A′B′E′
∴ AE：A′E′=AB：A′B′ 相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′
∵ AF、A′F′分别是∠BAC、∠B′A′C′的角平分线
∴ ∠B′A′F′=∠BAF
∵ ∠B=∠B′
∴ △ABF∽△A′B′F′
∴ AB：A′B′=AF：A′F′
∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ AB：A′B′=AC：A′C′=BC：B′C′
设AB：A′B′=AC：A′C′=BC：B′C′=k
∴ AB=k·A′B′，BC=k·B′C′，AC=k·A′C′
∴ AB+BC+AC=k（A′B′+ B′C′+ A′C′）
∴ （AB+BC+AC）：（A′B′+ B′C′+ A′C′）=k
相似三角形面积比等于相似比的平方
∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
∵ AD⊥BC，A′D′⊥B′C′
∴ ∠ABD=∠A′B′D′
∴ Rt△ABD∽Rt△A′B′D′
∴ AD：A′D′=AB：A′B′
∵ S△ABC=AD·BC，S△A′B′C′=A′D′·B′C′
∴ S△ABC：S△A′B′C′=（AD·A′D′）·（BC·B′C′）=（AB：A′B′）2
最终答案：略
解题过程：
已知：△ABC∽△A′B′C′，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，AF是∠BAC的角平分线，，A′D′是B′C′边上的高，A′E′是B′C′边上的中线，A′F′是∠B′A′C的角平分线 相似三角形对应高的比等于相似比
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
∵ AD⊥BC，A′D′⊥B′C′
∴ ∠ABD=∠A′B′D′
∴ Rt△ABD∽Rt△A′B′D′
∴ AD：A′D′=AB：A′B′ 相似三角形对应中线的比等于相似比
∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ AB：A′B′=BC ：B′C′，∠B=∠B′
∵ E、E′分别是BC，B′C′的中点
∴ AB：A′B′=BC： B′C′= ：B′E′
∵ ∠B=∠B′
∴ △ABE∽△A′B′E′
∴ AE：A′E′=AB：A′B′ 相似三角形对应角平分线的比等于相似比
∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′
∵ AF、A′F′分别是∠BAC、∠B′A′C′的角平分线
∴ ∠B′A′F′=∠BAF
∵ ∠B=∠B′
∴ △ABF∽△A′B′F′
∴ AB：A′B′=AF：A′F′
∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ AB：A′B′=AC：A′C′=BC：B′C′
设AB：A′B′=AC：A′C′=BC：B′C′=k
∴ AB=k·A′B′，BC=k·B′C′，AC=k·A′C′
∴ AB+BC+AC=k（A′B′+ B′C′+ A′C′）
∴ （AB+BC+AC）：（A′B′+ B′C′+ A′C′）=k
相似三角形面积比等于相似比的平方
∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
∵ AD⊥BC，A′D′⊥B′C′
∴ ∠ABD=∠A′B′D′
∴ Rt△ABD∽Rt△A′B′D′
∴ AD：A′D′=AB：A′B′
∵ S△ABC=AD·BC，S△A′B′C′=A′D′·B′C′
∴ S△ABC：S△A′B′C′=（AD·A′D′）·（BC·B′C′）=（AB：A′B′）2
最终答案：略