若向量组a1,a2,...an线性无关,而b,a1,a2,...,an线性相关,则b可由a1,a2,...,an线性表示
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 00:38:31
若向量组a1,a2,...an线性无关,而b,a1,a2,...,an线性相关,则b可由a1,a2,...,an线性表示且表示方法惟一
怎么证明
怎么证明
由于 a1,a2,...,am,B线性相关
所以存在一组不全为0的数 k1,k2,...,km,k 使得
k1a1+k2a2+...+kmam+kB=0
则必有k≠0.
否则k1a1+k2a2+...+kmam=0,
而a1,a2,...,am线性无关,
所以k1=k2=...=km=0
这与 k1,k2,...,km,k 不全为0矛盾.
故有 B=(-1/k)(k1a1+k2a2+...+kmam)
即 B可由a1,a2,...,am线性表示.
设 B = k1a1+k2a2+..+kmam
B = k1'a1+k2'a2+..+km'am
则 (k1-k1')a1+(k2-k2')a2+..+(km-km')am=0
由 a1,a2,...,am线性无关知
ki-ki' = 0, 即 ki = ki', i=1,2,...,m
所以表示法唯一.
所以存在一组不全为0的数 k1,k2,...,km,k 使得
k1a1+k2a2+...+kmam+kB=0
则必有k≠0.
否则k1a1+k2a2+...+kmam=0,
而a1,a2,...,am线性无关,
所以k1=k2=...=km=0
这与 k1,k2,...,km,k 不全为0矛盾.
故有 B=(-1/k)(k1a1+k2a2+...+kmam)
即 B可由a1,a2,...,am线性表示.
设 B = k1a1+k2a2+..+kmam
B = k1'a1+k2'a2+..+km'am
则 (k1-k1')a1+(k2-k2')a2+..+(km-km')am=0
由 a1,a2,...,am线性无关知
ki-ki' = 0, 即 ki = ki', i=1,2,...,m
所以表示法唯一.
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若向量组a1,a2,a3.an 线性相关,则a1 可由a2,a3.an线性表示?
"若向量组a1,a2,a3,an 线性无关,而向量组a1,a2,a3,an,b线性相关",有这样的例子吗?请解释给学渣听
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