已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处可导的函数，若xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 12:24:06

证明：（Ⅰ）∵g（x）=
f(x)
x ，∴g′（x）=
f′(x)•x-f(x)
x 2
∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
从而有g（x）=
f(x)
x 在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x₁ ＞0，x₂ ＞0时，有
f( x 1 + x 2 )
x 1 + x 2 ＞
f( x 1 )
x 1 ，
f( x 1 + x 2 )
x 1 + x 2 ＞
f( x 2 )
x 2 ，
于是有：f（x₁ ）＜
x 1
x 1 + x 2 f（x₁ +x₂ ），f（x₂ ）＜
x 2
x 1 + x 2 f（x₁ +x₂ ），
两式相加得：f（x₁ ）+f（x₂ ）＜f（x₁ +x₂ ）；
（Ⅲ）由于
1
(n+1 ) 2 ln（n+1）² =-
1
(n+1 ) 2 ln
1
(n+1) 2 ，设f（x）=xlnx，则xf′（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
由（Ⅱ）可知：f（x₁ ）+f（x₂ ）＜f（x₁ +x₂ ），（x₁ ＞0，x₂ ＞0）恒成立
由数学归纳法可知：x_i ＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x₁ ）+f（x₂ ）+f（x₃ ）+…+f（x_n ）＜f（x₁ +x₂ +x₃ +…x_n ）（n≥2）恒成立
x_i ＞0（i=1，2，3，…，n）时，x₁ lnx₁ +x₂ lnx₂ +…+x_n lnx_n ＜（x₁ +x₂ +…+x_n ）ln（x₁ +x₂ +…+x_n ）（n≥2）（*）恒成立
令x_n =
1
(n+1 ) 2 ，记S_n =x₁ +x₂ +…x_n =
1
2 2 +
1
3 2 +…+
1
(n+1) 2
∴S_n ＜
1
1•2 +
1
2•3 +…+
1
n(n+1) =1-
1
n+1 ，
又S_n ＞
1
2•3 +…+
1
(n+1)(n+2) =
1
2 -
1
n+2 ，且ln（x+1）＜x
∴（x₁ +x₂ +…+x_n ）ln（x₁ +x₂ +…+x_n ）＜（x₁ +x₂ +…+x_n ）ln（1-
1
n+1 ）＜-
1
n+1 （x₁ +x₂ +…+x_n ）＜-
1
n+1 （
1
2 -
1
n+2 ）=-
n
2(n+1)(n+2) （**）
将（**）代入（*）中，可知-[
1
2 2 ln2² +
1
3 2 ln3² +
1
4 2 ln4² +…+
1
(n+1 ) 2 ln（n+1）² ]＜-
n
2(n+1)(n+2)
∴
1
2 2 ln2² +
1
3 2 ln3² +
1
4 2 ln4² +…+
1
(n+1 ) 2 ln（n+1）² ＞
n
2(n+1)(n+2)

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，不等式f（x）+xf′（x）＞0恒成立，若a=20.3 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f（x）满足：2f（x）+xf′（x）＞xf（x）,则f（x）在区间[ 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)-f(x)＞0在(0,+∞)上恒成立 f(x)是定义在（0,+∞）上的非负可导函数,且满足xf′(x)-f(x)≤0,对任意正数a,b,若a 设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成立的是（　　）设f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）在（0，+∞）上是减函数，且2是函数f（x）的一个零点，则满足xf（x）＞0的已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≥0，对任意正数a，b，若a＞b，则必有（定义在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），且xf′（x）+f（x）＞0，那么12f(1)与f（2）的大小关系是（已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(－∞,0)时不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立,若a＝2^0.2f 已知f(x)为定义在（0,+∞）上的可导函数,且xf'(x)-f(x)>0,则不等式x^2f(1/x)>f(x)的解集为已知f（x）是定义在（0,+∞）上的函数,对于任意的正数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立,且当x＞1时f（x