已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）离心率为22，且椭圆的长轴比焦距长22−2．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 08:20:55

已知椭圆C：

（1）设椭圆的焦距为2c，则
由题设可知

a−c＝
2−1

c
a＝

2
2
a2＝c2+b2，解此方程组得a＝
2，b=1．
所以椭圆C的方程是
x2
2+y2＝1．…5分
（2）解法一：假设存在点T（u，v）．
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx−
1
3，
将它代入椭圆方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0．
设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，则

x1+x2＝
12k
18k2+9
x1x2＝
−16
18k2+9.
因为

TA＝(x1−u，y1−v)，

TB＝(x2−u，y2−v)及y1＝kx1−
1
3，y2＝kx2−
1
3，
所以

TA•

TB=(k2+1)x1x2−(u+
1
3k+kv)(x1+x2)+u2+v2+
2v
3+
1
9
=
(6u2+6v2−6)k2−4ku+(3u2+3v2+2v−5)
6k2+2…9分
当且仅当

TA•

TB=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，
所以

6u2+18v2−18＝0
u＝0
3u2+3v2+2v−5＝0.解得u=0，v=1．
此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…11分
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为x²+y²=1也过点T（0，1）．
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件．…13分
解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1．
若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是x2+(y+
1
3)2＝
16
9．…7分
由

x2+y2＝1
x2+(y+
1
3)2＝
16
9.解得

x＝0
y＝1．
由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．…8分
事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：
当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x²+y²=1，
过点T（0，1）；
当直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx−
1
3，代入椭圆方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0．
设点A、B的坐标为A(x1，y1)， B(x2，y2)，则

x1+x2＝
12k
18k2+9
x1x2＝
−16
18k2+9.…10分
因为

TA＝(x1，y1−1)，

TB＝(x2，y2−1)，
所以

TA•

TB=
−16k2−16−16k2+32k2+16
18k2+9＝0．
所以

TA⊥

TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．
综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…13分．

（2013•哈尔滨一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截（2013•金川区一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为2c，且a，b，c依次成等差数列，则椭圆的离心率为 ⊙ ___ ．已知P是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上的一个动点，且P与椭圆长轴两个顶点连线的斜率之积为−12，则椭圆的离心定义：离心率e=5−12的椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，c为椭圆的半焦距，如果a 已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，且经过点A（2，3）．（2014•重庆三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的离心率为53，定点M（2 已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e为（　　）已知离心率为63的椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)与圆C：x2+（y-3）2=4交于A，B两点，且∠ACB= 已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，F(2，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．已知椭圆C1的中心在原点，离心率为45，焦点在x轴上且长轴长为10．过双曲线C2：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0