作业帮第一型曲面积分的计算问题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 12:20:12
第一型曲面积分的计算问题.
直接说我的困惑.计算第一型曲面积分(x^3)y-z dS,其中S是圆柱面x^2+y^2=1,z在［0,1〕.怎么算.
这个问题其实是我自己看错了,本来是dxdy的第二型曲面积分的,但突然想到不会算这种第一型的.
另：第一型曲面积分能不能直接用极坐标代换,免去计算偏导数的过程?请注意理解这个意思.
直接说我的困惑.计算第一型曲面积分(x^3)y-z dS,其中S是圆柱面x^2+y^2=1,z在［0,1〕.怎么算.
这个问题其实是我自己看错了,本来是dxdy的第二型曲面积分的,但突然想到不会算这种第一型的.
另：第一型曲面积分能不能直接用极坐标代换,免去计算偏导数的过程?请注意理解这个意思.
第一题很简单,
因为曲面是个关于xoz对称的曲面,而且积分函数x^3y是个关于y的奇函数,所以
∫x^3ydS=0
因为曲面是个圆柱面,展开面是个矩形,面积=底面边长x高,所以ds=2πdz
所以原积分=∫(0->1) -z*2πdz=-π
第二题.更简单了,因为圆柱面在xoy上的投影面积是0,所以dxdy=0
所以原积分=0
再问： 不好意思原题是dydz；
还有就是计算第一型曲面积分如 zdS S是(x^2+y^2)^1/2=z的圆锥面的时候，能否直接用柱面坐标系代换，从而避免计算z的偏导数？
谢谢啦。
再答： dydz的话，用补形，补上上下两个圆面后，用高斯定理，因为上下两个面上，dz=0
所以在这两个面上积分为0
原积分=∫∫∫3x^2ydV=0
求偏导躲不开的。锥面跟圆柱面的面积好像是有关系的，但是这个锥面的面积没法表示成dz的形式。我没弄出来，不知道为什么。
在这个圆锥曲线中，因为始终有r=z，如果写成2πzdz，是可以表示底面投影的面积的。
所以ds=2√2πzdz。这就可以简化计算了。
但是这个√2倍的关系，也是通过求偏导得出来的。
满意请采纳，谢谢支持。
因为曲面是个关于xoz对称的曲面,而且积分函数x^3y是个关于y的奇函数,所以
∫x^3ydS=0
因为曲面是个圆柱面,展开面是个矩形,面积=底面边长x高,所以ds=2πdz
所以原积分=∫(0->1) -z*2πdz=-π
第二题.更简单了,因为圆柱面在xoy上的投影面积是0,所以dxdy=0
所以原积分=0
再问： 不好意思原题是dydz；
还有就是计算第一型曲面积分如 zdS S是(x^2+y^2)^1/2=z的圆锥面的时候，能否直接用柱面坐标系代换，从而避免计算z的偏导数？
谢谢啦。
再答： dydz的话，用补形，补上上下两个圆面后，用高斯定理，因为上下两个面上，dz=0
所以在这两个面上积分为0
原积分=∫∫∫3x^2ydV=0
求偏导躲不开的。锥面跟圆柱面的面积好像是有关系的，但是这个锥面的面积没法表示成dz的形式。我没弄出来，不知道为什么。
在这个圆锥曲线中，因为始终有r=z，如果写成2πzdz，是可以表示底面投影的面积的。
所以ds=2√2πzdz。这就可以简化计算了。
但是这个√2倍的关系，也是通过求偏导得出来的。
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