如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB＝BC＝½PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 18:00:01

（Ⅰ）∵O、D分别为AC、PC的中点,
∴OD∥PA
又PA平面PAB,
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵AB⊥BC,OA=OC
∴OA=OB=OC
又∴OP⊥平面ABC,
∴PA=PB=PC.
取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE.
作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC.∠ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD∥PA,
∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
在Rt△ODF中,
sin∠ODF=.
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知,OF⊥平面PBC,
∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点
若点F是△PBC的重心.
则B、F、D三点共线,
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
∵OB⊥PC,
∴PC⊥BD,
∴PB=BC,即k=1
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心
方法二：
∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,
设AB=a,则A（a,0,0）,B（0,a,0）,C（－a,0,0）.
设OP=h,则P（0,0,h）.
（Ⅰ）∵D为PC的中点,
∴＝（－,0,）
又,
∴
∴∥.
∴OD∥平面PAB
（Ⅱ）∵k=,即PA=2a
∴h=,
∴=(),
可求得平面PBC的法向量=（1,－1,－）,
∴cos==
设PA与平面PBC所成的角为θ
则sinθ=|cos|=,
∴PA与平面PBC所成的角为arcsin
（Ⅲ）△PBC的重心G（－a,a,h）,
∴=（－a,a,h）
∵OG⊥平面PBC,
∴⊥
又=（0,a,－h）
∴·=a2－h2=0
∴h=a.
∴PA==a,即k=1.
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.

如图,在三棱锥P-ABC中,AB垂直于BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP垂直于底面ABC 如图，在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E、F分别是棱BC、PC的中点．如图,在三棱锥P-ABC,PC垂直底面ABC,AB垂直BC,D、E分别是AB、PB的中点.PC=AC 求证：DE//平面如图在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1PA=2 如图,在四面体P-ABC中,PA垂直平面ABC,AC垂直AB,且D、E、F、G分别为BC、PC、AB、PA的中点三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,PA=BC=1,PC=AB=2,∠APC=60°,D为AC中点. 如图,在三棱锥P-ABC中,棱PB⊥AC,E,F,G,H分别是PA,AB,BC,CP的中点. 已知如图,三棱锥P－ABC中,PA垂直于底面ABC,AC垂直于BC,M,N分别是AB和PB的中点. 如图，在三棱锥P-ABC中，E，F，G，H分别是AB，AC，PC，BC的中点，且PA=PB，AC=BC，求证：（1）AB 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E，F分别为BC，PC，AB的中点．（2011•浙江）如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段A 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．