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定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）>af（

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 09:49:46
定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）>af（b）+bf（a）；
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论．
（2）若f（x）是奇函数，不等式mf（x）≤m2+m-3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
（1）证明：设-1≤x1<x2≤1，令a=x2，b=x1，
则x2f（x2）+x1f（x1）>x2f（x1）+x1f（x2）
∴（x2-x1）f（x2）+（x1-x2）f（x1）>0，
∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]>0
∵x2-x1>0，
∴f（x2）>f（x1），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）当m=0时，0≤-3不成立（舍去）
当m>0时，∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1
∴mf（x）≤m
∴

m>0
m2+m−3≥m
∴m≥
3
当m<0时，∵f（x）是奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=-1，
∴-1≤f（x）≤1，
∴mf（x）≤-m
∴

m<0
m2+m−3≥−m
∴m≤-3
综上所述：m≥
3或m≤-3．
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a） (1)求f（0 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意a,b属于R,都满足f(ab)=af(b)+bf(a).（1）求f(0 已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数,都有f（ab）=af（b）+bf（a）成立 （1）求f（1）和f（-1） 已知f（x）定义在R上的函数，对于任意的实数a，b都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1． 已知函数y=f(x),满足：对任意a,b∈R,都有af(a)+bf(b)>af（b)+bf(a).(1)试证明：f(x) 已知函数y=f(x).(x、y∈N+),满足（1）对任意a、b∈N+,a≠b都有af(a)+bf(b)＞af(b)+bf 已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的a,b属于R都满足f(ab)=af(b)+bf(a) （1)求f 1、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意a,b∈R,都满足f(ab)=af(b)+bf(a) 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b属于R都满足f(ab)=af(b)+bf(a),(1)求f( 已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意实数a,b都有f(ab)=af(b)+bf(a),且f(2)=1求f(1\2)的 已知函数f（x）是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的a,b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a） 已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a）