（2013•温州一模）已知函f（x）=ax2-ex（a∈R）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/24 06:00:33

（2013•温州一模）已知函f（x）=ax²-e^x（a∈R）．
（Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：-

＜f(x

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-e^x，f（x）在R上单调递减．
事实上，要证f^′（x）=x²-e^x在R上为减函数，只要证明f^′（x）≤0对∀x∈R恒成立即可，
设g（x）=f^′（x）=2x-e^x，则g^′（x）=2-e^x，
当x=ln2时，g^′（x）=0，
当x∈（-∞，ln2）时，g^′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g^′（x）＜0．
∴函数g（x）在（-∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．
∴f^′（x）_max=g（x）_max=g（ln2）=2ln2-2＜0，故f^′（x）＜0恒成立
所以f（x）在R上单调递减；
（Ⅱ）（i）由f（x）=ax²-e^x，所以，f^′（x）=2ax-e^x．
若f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是方程f^′（x）=0的两个根，
故方程2ax-e^x=0有两个根x₁，x₂，
又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a＝
ex
x有两个根，
设h(x)＝
ex
x，得h′(x)＝
ex(x−1)
x2．
若x＜0时，h（x）＜0且h^′（x）＜0，h（x）单调递减．
若x＞0时，h（x）＞0．
当0＜x＜1时h^′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时h^′（x）＞0，h（x）单调递增．
要使方程2a＝
ex
x有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞
e
2且0＜x₁＜1＜x₂．
故a的取值范围为(
e
2，+∞)．
（ii）证明：由f^′（x₁）=0，得：2ax1−ex1＝0，故a＝
ex1
2x1，x₁∈（0，1）
f(x1)＝ax12−ex1＝
ex1
2x1•x12−ex1=ex1(
x1
2−1)，x₁∈（0，1）
设s（t）=et(
t
2−1)（0＜t＜1），则s′(t)＝et(
t−1
2)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减
故s（1）＜s（t）＜s（0），即

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