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如图,在△ABC中,∠B=22.5°,边AB的垂直平分线交BC于D,DF⊥AC于F,并与BC边上的高AE交于G.求证:E

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 06:35:28
如图,在△ABC中,∠B=22.5°,边AB的垂直平分线交BC于D,DF⊥AC于F,并与BC边上的高AE交于G.求证:EG=EC.
证明:
连接AD,
∵边AB的垂直平分线交BC于D,
∴BD=AD,
∴∠B=∠BAD=22.5°,
∴∠ADE=22.5°+22.5°=45°,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=∠AED=90°,
∴∠DAE=45°=∠ADE,
∴DE=AE,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=90°=∠AEC,
∴∠ACE+∠FDC=90°,∠ACD+∠CAE=90°,
∴∠CAE=∠FDC,
在△DEG和△AEC中

∠DEA=∠AEC
DE=AE
∠GDE=∠CAE
∴△DEG≌△AEC(ASA),
∴EG=EC.