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已知函数f（x）=lnx，g′（x）=x且g（2）=2．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/08 18:46:26
已知函数f（x）=lnx，g′（x）=x且g（2）=2．
（1）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（其中a＞0），若F（x）没有零点，求实数a的取值范围；
（2）若p＞q＞0，总有m[g（p）-g（q）]＞pf（p）-qf（q）成立，求实数m的取值范围．
（1）由g′（x）=x，可设g(x)＝
1
2x2+c，又由g（2）=2，解得c=0，所以g(x)＝
1
2x2．
所以F(x)＝
a
2x2−lnx，F′(x)＝ax−
1
x＝
ax2−1
x＝
a
x(x+

1
a)(x−

1
a)．
因为a＞0，F（x）的定义域为（0，+∞），
所以当时x＞

1
a时，F'（x）＞0，0＜x＜

1
a时，F'（x）＜0．
所以F（x）在(0，

1
a)是减函数，在[

1
a，+∞)上是增函数．
易知x→0+时，F（x）→+∞；x→+∞时，F（x）→+∞．
因为F（x）没有零点，所以F（x）在（0，+∞）上的最小值是F(

1
a)＝
1
2+
1
2lna＞0，
解得a＞
1
e．所以a的取值范围为(
1
e，+∞)．
（2）原问题即p＞q＞0时，mg（p）-pf（p）＞mg（q）-qf（q）恒成立．
令h(x)＝mg(x)−xf(x)＝
m
2x2−xlnx，则h（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
所以h'（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≥
lnx+1
x在（0，+∞）上恒成立．
令G(x)＝
lnx+1
x，则G′(x)＝−
lnx
x2，
所以当x∈（0，1）时，G′（x）＞0；x∈（1，+∞），G'（x）＜0．
所以G（x）的最大值为G（1）=1，所以m的取值范围为[1，+∞）．
已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=lnx/x,求证f(x)>g(x)+1/2 已知函数f（x）=lnx, g(x)=1/2x2 已知函数f(x)=lnx+a/x-2 g(x)=lnx+2x 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x． 函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx． 已知函数f（x）=1/2x^2-3x+(a-1)lnx,g(x)=ax,h(x)=f(x)-g(x)=3x,其中a∈R且 已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）． 已知函数f(x)=λx^2+λx,g(x)=λx+lnx,其中λ∈R,且λ≠0设函数ф（x）,当x≤0时,ф（x）= f 已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x^2+x) 已知函数f(x）=lnx+a/x,g(x)=x,F(x)=f(1+e的x次方)-g(x）,x属于R 已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx 已知函数f（x）=lnx,g（x）=1/2ax^2+2x,a≠0...