作业帮 > 综合 > 作业

（2008•扬州二模）已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/16 20:17:29
（2008•扬州二模）已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）
（1）函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2-16ac＜-1
（2）若a＞0，b＞0，且|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1试求f（x）的解析式；
（3）若c＝
3
4
（1）函数f（x）与直线y=x无公共点，即ax2+2bx+4c=x无实数解，
故△=（2b-1）2-16ac＜0，即4b2-4b+1-16ac＜0，
同理，函数f（x）与直线y=-x无公共点，即ax2+2bx+4c=-x无实数解，即b2+4b+1-16ac＜0
两式相加 得8b2+2-32ac＜0，即 4b2-16ac＜-1
（2）由|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，
则|f（0）|=|4c|=1，|a+2b+4c|=|a-2b+4c|，
∴（a+2b+4c）2=（a-2b+4c）2
∴b（a+4c）=0，∵b＞0，∴a+4c=0，
又∵a＞0，|4c|=1，∴a＝1，c＝−
1
4，从而b＝
1
2，
∴f（x）=x2+x-1
（3）c＝
3
4，则f（x）=ax2+2bx+3，由f（x）≥x+b恒成立，即：ax2+（2b-1）x+3-b≥0对x∈R恒成立，
所以

a＞0
△＝(2b−1)2−4a(3−b)≤0(*)，由（*）式 4b2-4b+1≤4a（3-b）对b∈[0，2]恒成立，
∴4a≥
4b2−4b+1
3−b，设g(b)＝
4b2−4b+1
3−b，则只需4a≥g（b）max
∵g(b)＝4(3−b)+
25
3−b−20，当b=2时g（b）max=9
∴4a≥9又a＞0，即a的取值范围是[
9
4，+∞)．
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件 （1） 当x∈R时,f 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0,b∈R, 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1． 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c,a、b、c∈R+,满足f（-1）=0,对于任意的实数 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c∈R．且满足a＞b＞c，f（1）=0． 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1． 设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件： 已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a＞0,b∈R,c属于R） 已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=aX2+bx+c满足a>b>c,且a+b+c=0(a,b,c属于R) 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件 （2014•海淀区二模）已知函数f（x）=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．