如图1,正方形ABCD中,点M在AB上,点N在CD上,点P在BC上,MN垂直AP于E.(1)求证：AP=MN.(2)如图

如图1,正方形ABCD中,点M在AB上,点N在CD上,点P在BC上,MN垂直AP于E.(1)求证：AP=MN.(2)如图2,点F在MN上,若EF=EA,连CF,点G为CF的中点,连DG,DE,求证：DE=根号2DG

（1）、过点B作BQ||MN交CD与点Q,则BQ=MN,
证三角形全等,易得AP=BQ,进而AP=BQ.
（2）、以D为原点,CD为x轴,DA为y轴建立坐标系,且令A(0,1),B(-1,1),C(-1,0),D(0,0),P(-1,t),
E(-m,1-m(1-t)),即E(-m,1-m+mt)
注意到MN⊥AP,EF=EA,有F(-m+(1-(1-m+mt)),1-m+mt-m),
即F(-mt,1-2m+mt),又C(-1,0),故G(-(mt+1)/2,(1-2m+mt)/2)
|DE|^2=m^2+(1-m+mt)^2
|DG|^2=(mt+1)^2/4+(1-2m+mt)^2/4
=1/4*[(mt+1)^2+(1-m+mt-m)^2]
=1/4*[(mt+1)^2+(1-m+mt)^2+m^2-2m(1-m+mt)]
=1/4*[(1-m+mt)^2+2m^2+m^2-2m(1+mt)+(1+mt)^2]
=1/2*[m^2+(1-m+mt)^2]
=1/2*|DE|^2
即DE=根号2DG
再问： 第二问看不懂啊！！！
再答： 就是把这个正方形拖到一个坐标系里用方程、坐标的方法解决，也叫做解析几何。下面详细解释下： 以D为原点，CD为x轴，DA为y轴建立坐标系，且令A(0,1),B(-1,1),C(-1,0),D(0,0),P(-1,t), /*上面这部分可以理解吧？！*/ E(-m,1-m(1-t)),即E(-m,1-m+mt) /*E在AP上，直线AP方程：y=(t-1)x+1，这样，设E横坐标为-m，就可以求出其纵坐标。*/ 注意到MN⊥AP，EF=EA，有F(-m+(1-(1-m+mt)),1-m+mt-m)， /*这里可以想象过E作EW⊥AD交AD与W，过E且与AD平行的直线与过F且与CD平行的直线交于点V，由MN⊥AP，EF=EA，很容易得到△AEW≌△FEV，EV=EW，VF=AW，F的横坐标=E的横坐标+VF=E的横坐标+AW=E的横坐标+y（A）-y（E）=-m+(1-(1-m+mt))；纵坐标的求法类似。*/ 即F(-mt,1-2m+mt)，又C(-1,0),故G(-(mt+1)/2,(1-2m+mt)/2) /*中点坐标公式：有两点 A(x1, y1) B(x2, y2) 则它们的中点P的坐标为（(x1+x2)/2, (y1+y2)/2）*/ |DE|^2=m^2+(1-m+mt)^2 |DG|^2=(mt+1)^2/4+(1-2m+mt)^2/4 =1/4*[(mt+1)^2+(1-m+mt-m)^2] =1/4*[(mt+1)^2+(1-m+mt)^2+m^2-2m(1-m+mt)] =1/4*[(1-m+mt)^2+2m^2+m^2-2m(1+mt)+(1+mt)^2] =1/2*[m^2+(1-m+mt)^2] =1/2*|DE|^2 即DE=根号2DG /*还有哪里不懂，标明位置，继续追问即可。若满意，请采纳。*/