设V是有理数域上的线性空间,V的维数是n,A与B是V的线性变换,B可对角化,AB-BA=A

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 17:43:39

设V是有理数域上的线性空间,V的维数是n,A与B是V的线性变换,B可对角化,AB-BA=A
证：存在正整数m,使得A的m次幂是零变换

对B的任何一个特征向量X, 设BX = λX, 即X是B的属于特征值λ的特征向量.
由AB-BA = A, 有ABX-BAX = AX, 故λAX-BAX = AX, B(AX) = (λ-1)AX.
若AX非零, 则AX是B的属于特征值λ-1的特征向量.
重复上述过程, 若A²X非零, 则A²X是B的属于特征值λ-2的特征向量.
依此类推, 直至第n次: 若(A^n)X非零, 则(A^n)X是B的属于特征值λ-n的特征向量.
但V的维数为n, B不可能有n+1个特征值λ, λ-1,..., λ-n.
所以对某个k ≤ n, 有(A^k)X = 0, 从而也有(A^n)X = 0.
由B可对角化, 其特征向量构成V的一组基.
A^n在V的一组基上都取0, 所以A^n = 0.

V是数域P上n维线性空间,A和B是V上线性变换A^2=0,B^2=0,AB+BA=E,证明V只能是偶数维设A为数域P上的n维线性空间V的线性变换,且A^2=A 1、设B是数域P上n维线性空间V的线性变换,B属于V,若B^(n-1)(a)!=0,B^n(a)=0,证明：a,B(a) 设A为数域P上的线性空间V的线性变换,证明：设V是数域P上n维线性空间,t是V的一个线性变换,t的特征多项式为f（a）.证明：f（a）在p上不可约的充要条件是V无关 v是数域p上的n维线性空间,T是v的线性变换.证明,存在v的线性变换S,使得TST=T 设V是数域P上的n维线性空间,W是V的子空间,证明：W是某个线性变换的核. 线性变换：设A是数域P上偶数维线性空间V上的线性变换,那么A与-A具有相同的( ) 证明是线性空间设V是数域F上的线性空间,W是V的一个子空间,U={σ是V的一个线性变换|σ（V）是W的子集}.证明：U关设α是n维线性空间 V的线性变换,那么 α是双射 α是单位变换（×）设σ是线性空间V上的可逆线性变换,证明：（1）σ的特征值一定不为零. 设A是线性空间V的一个线性变换,证明下列两个条件是等价的：A把V中某一线性无关的向量变成一组线性相关的