Peano公理的第5条如何保证自然数模型里没有多余的数（如0.5）?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 12:06:03

Peano公理的第5条如何保证自然数模型里没有多余的数（如0.5）?
如题,Peano公理定义了自然数,但有一处不解：
为什么用其中的数学归纳原理就可以把诸如0.5之类的数排除掉?
看Terence Tao
Analysis,感觉相应的地方不太理解,理不清头绪了.
比如Tao的书上写：
P(n)为
n不是半整数（形式上的,因为此处还没有定义“整数”,下同）
接着用归纳法证明.
（1）0不是半整数；
（2）假设n（n也就是任一个自然数的后继）不是半整数,要证明n++也不是半整数；
我的问题是,此处如何由 n不是半整数推出 n++也不是半整数?

这里真正的意思是:任何一个自然数都能通过对0取若干次后继得到,
也就是没有0,0++,(0++)++,...以外的数.
(当然,在没有自然数概念时,"若干"和"..."其实都是不严格的).
形式上:P(n):n是0或n是0的若干次后继.
于是(1) P(0)为真.
(2) 当P(n)为真时,易知P(n++)为真.
由数学归纳法原理,P(n)对于每个自然数都为真.
因为0,0++,(0++)++分别命名为0,1,2,...
所以上述结论就是说自然数只有0,1,2,...

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