A为对称矩阵,证明若A有重特征值LANCZOS过程必然出现中断.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 10:57:30

A为对称矩阵,证明若A有重特征值LANCZOS过程必然出现中断.
如题

若Lanczos过程不中断则A相似于一个不可约实对称三对角矩阵,但是不可约实对称三对角阵一定没有重特征值
再问： “不可约实对称三对角阵一定没有重特征值”这个怎么证明？您能说一下吗？谢谢
再答：更一般的结论，如果H是一个不可约上Hessenberg矩阵（比上三角矩阵多一条次对角线）

H =

x x x x x

x x x x x
0 x x x x
0 0 x x x
0 0 0 x x
那么H的每个特征值都只有一个线性无关的特征向量。
证明很容易，如果λ是H的特征值，那么
H-λI =

x x x x x

x x x x x
0 x x x x
0 0 x x x
0 0 0 x x
其前n-1列线性无关，所以rank(H-λI)=n-1
三对角矩阵是特殊的上Hessenberg矩阵，实对称三对角阵一定可对角化，所以不能有重特征值

怎么证明实对称矩阵k重特征值必然有k个特征向量? 若b是矩阵A的单重特征值,请证明对应b的特征向量的秩为1 证明：若A是正定矩阵（A一定是对称矩阵）的充要条件是所有特征值大于0 对称三对角矩阵的性质证明：若一个实对称三对角矩阵有k重特征值,则它至少有k-1个次对角元为0. 证明：若矩阵A为正定矩阵,则A的奇异值与特征值相同矩阵A秩为三,为实对称矩阵 A^2+A=0.求特征值设A是n阶实对称矩阵,证明：（1）A的特征值全是实数；（2）若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵设三阶实对称矩阵A的特征值为1,1,-1且对应的特征值1的特征向量有(1,1,1),(2,2,1),求矩阵A 矩阵A^2=E,且有不同的特征值,不同特征值的特征向量正交,证明A为正交阵设A为3阶矩阵,2是A的一个2重特征值,-1为它的另一个特征值,则|A|=?求计算过程, 若A是幂零矩阵,如何证明其特征值为0?若A为幂等矩阵,如何证明其特征值只能为0或1? 设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵