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如图 在△ABC中 角ACB=90° BC是圆O的直径

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 10:08:33
如图 在△ABC中 角ACB=90° BC是圆O的直径
AB交圆O于点D,点E是AC上一点
(1)若点E是AC的中点,则DE是圆O的切线,为什么?
(2)若DE是圆O的切线,则点E是AC的中点,为什么?
连结CD、OD
∵BC是圆O的直径
∴BD⊥CD
∴∠CBD+∠BCD=90°
又∵AC⊥BC
∴∠BCD+∠ACD=90°
∴∠CBD=∠ACD
又∵∠BDC=∠CDA=90°
∴△BCD ∽ △CAD
(1)∵E是AC中点
∴AE=EC
∵△BCD ∽ △CAD
∴BC:CD=CA:AD
∴½BD:CD=½CA:AD,即OC:CD=AE:AD
又∵∠BCD=∠CAD
∴△CDO ∽ △AED
∴∠ODC=∠EDA
∴∠ODC+∠CDE=∠EDA+∠CDE,即∠ODE=∠CDA=90°
∴DE是圆O的切线
(2)∵DE是圆O的切线
∴OD⊥DE,∠ODE=∠ADC=90°
∴∠ODC=∠EDA
又∵△BCD ∽ △CAD
∴∠OCD=∠EAD
∴△OCD ∽ △EAD
∴OC:EA=CD:AD
又∵△BCD ∽ △CAD
∴BC:AC=CD:AD
∴OC:EA=BC:AC
∴EA:AC=OC:BC=1:2
∴E是AC的中点