如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 15:33:54

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE

并延长，与BC的延长线交于点F，
（1）求证：BD=BF；
（2）当BC=3，AD=2时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，判断△DBF是否为正三角形？并说明你的理由．

（1）证明：连OE，则OE⊥AC．又BC⊥AC．
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF（3分）

（2）设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R，由OE∥BC
有△AOE∽△ABC，
∴
OE
BC＝
AO
AB，即
R
3＝
2+R
2+2R，
解得：R₁=2，R 2＝−
3
2（舍去）（6分）
∴⊙O的面积=πR²=4π（7分）

（3）△BDF是正三角形．理由如下：
由（2）知BD=2R=4．
∴AB=6，
在Rt△ABC中，cosB=
BC
AB＝
3
6＝
1
2（8分）
∴∠B=60°，又BD=BF
∴△BDF是正三角形．（10分）

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC延如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与B 在RT△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径的圆O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于一点E，连接DE并延长，与BC的延长如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB 边上的一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连结DE并延长,与 ,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的⊙与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC延长线在RT三角形ABC中，∠ACB＝90度、D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E、连接DE并延长，与BC的在RT三角形ABC中,∠ACB＝90度、D是AB边上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E、连接DE并延长,与BC的在Rt△ABC中,角ABC=90°,D是AB边上一点,以BD为直径的圈O与边AC相切于点E,连接DE并延长,与BC的延长在RT△ABC中.∠ACB等于90°.D是AB上一点.以BD为直径的圆O与边AC相切于点E.连接DE并延长.与BC的延长