（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 14:40:49

（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+

（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+
e
x，
∴f′（x）=
x−e
x2；
∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；
∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+
e
e=2；
（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）-
x
3=
1
x-
m
x2-
x
3（x＞0），
令g（x）=0，得m=-
1
3x³+x（x＞0）；
设φ（x）=-
1
3x³+x（x≥0），
∴φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，
∴x=1是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（1）=
2
3；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图

；
可知：
①当m＞
2
3时，函数g（x）无零点；
②当m=
2
3时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0＜m＜
2
3时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上，当m＞
2
3时，函数g（x）无零点；
当m=
2
3或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜
2
3时，函数g（x）有两个零点；
（Ⅲ）对任意b＞a＞0，
f(b)−f(a)
b−a＜1恒成立，
等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；
设h（x）=f（x）-x=lnx+
m
x-x（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=
1
x-
m
x2-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x²+x=-(x−
1
2)2+
1
4（x＞0），
∴m≥

已知函数f(x)＝lnx－mx（m R）．已知m∈R,设函数f（x）=x3-3（m+1）x2+12mx+1．已知函数f（x）=lnx-mx+m,m∈R,若f（x）≤0在x∈（0,+∞）上恒成立,求实数m的取值范围．已知函数f(x)=lnx mx².m属于R.求f(x)单调区间设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(a∈R）已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex．（2013•陕西）已知函数f（x）=ex，x∈R．已知函数f(x)＝lnx－mx＋m,m∈R ,求函数f(x)的单调区间已知函数f(x)=lnx+mx²(m∈R) (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若m=0,A(a,f(a)) （2010•浙江模拟）已知函数f（x）=-（2m+2）lnx+mx-m+2x（m≥-1）．设函数f（x）=mx^2-mx-1,对于m∈[-2,2]f(x) 设函数f（x）=lnx-2ax．