如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别是B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/08 07:16:16

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别是B₁A、CC₁、BC的中点．现设A₁A=2a
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的正切值．

方法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA₁=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I）

DE=（-2，4，0），面ABC的法向量为

OA1=（0，0，4），
∵

DE•

OA1＝0，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II）

B1F＝(−2，2，−4)，

EF＝(2，−2，−2)

B1F•

EF＝(−2)×2+(−2)+(−4)×(−2)=0

B1F•

AF＝(−2)×2+2×2+(−4)=0（6分）
∴

B1F⊥

AF，∴B₁F⊥AF
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF（8分）
（III）平面AEF的法向量为

B1F＝(−2，2，−4)，设平面B₁AE的法向量为

n＝(x，y，z)，
∴

n•

AE＝0

n•

B1A＝0，即

2y+z＝0
x+z＝0（10分）
令x=2，则Z=-2，y=1，∴

n＝(2，1，−2)
∴cos(

n，

B1F)＝

n•

B1F
|

n|•|

B1F|=
6

9×
24＝

6
6
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为

6
6（12分）
方法2：（I）方法i：设G是AB的中点，连接DG，

则DG平行且等于EC，（2分）
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．（4分）
方法ii：连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线
于点P，连接BP．由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，
可证A₁E=EP，（2分）
∵D、E是A₁B、A₁P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁F⊥AF，（6分）
设AB=AA₁=2，则 B1F＝
6，EF＝

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,三角行ABC为等腰直角三角形,角BAC=90度,且AB=AA1,D、E、F分别为B1 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,角BAC=90°,且AB=AA1=2, 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1、A 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB＝90,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点（2013?宁波二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2 如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，D分别是AA1，AC，BB1的中点，且CD⊥C1D．如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，D分别是AA1，AC，BB1的中点，且CD⊥C1D．（已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=根号2,AA1=根号3,D是BC中点,E是AA1中点如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,角ACB=90°,AC=1,AA1=根号2,D为AB的中点. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中点．（II）若棱AA1上存在如图,直三棱柱ABC–A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(1)证明BC1//平面A1CD(2)设AA1=AC