作业帮如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/14 17:56:06
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．（1）求证：面O1DC⊥面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B大小；
（3）若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD．
证明：（1）连AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，
O1为A1C1，B1D1的交点．
由平行六面体的性质知：A1O1||OC且A1O1=OC
∴四边形A1OCO1为平行四边形，A1O||O1C
又∵A1O⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD
又∵O1C⊂平面O1DC∴平面O1DC⊥平面ABCD
（2）过点O作OM⊥AA1，垂足为M，连接BM．∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A1AO．由三垂线定理得AA1⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA1-B的平面角．
在Rt△AMB中，∠MAB=60°，∴MB＝
3
2AB
又∵BO＝
2
2AB，∴sin∠OMB＝
6
3
∴∠OMB＝arcsin
6
3
二面角C-AA1-B的大小为 arcsin
6
3
（3）作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH∥A1O，点H在直线AC上，
且EF在平面ABCD上的射影为HF．
由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD⇔FH∥AB
∵AE=2EA1，∴AH=2HO，从而CH=2AH又∵HF∥AB，∴CF=2BF
从而EF⊥AD⇔CF=2BF∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD
O1为A1C1，B1D1的交点．
由平行六面体的性质知：A1O1||OC且A1O1=OC
∴四边形A1OCO1为平行四边形，A1O||O1C
又∵A1O⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD
又∵O1C⊂平面O1DC∴平面O1DC⊥平面ABCD
（2）过点O作OM⊥AA1，垂足为M，连接BM．∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A1AO．由三垂线定理得AA1⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA1-B的平面角．
在Rt△AMB中，∠MAB=60°，∴MB＝
3
2AB
又∵BO＝
2
2AB，∴sin∠OMB＝
6
3
∴∠OMB＝arcsin
6
3
二面角C-AA1-B的大小为 arcsin
6
3
（3）作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH∥A1O，点H在直线AC上，
且EF在平面ABCD上的射影为HF．
由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD⇔FH∥AB
∵AE=2EA1，∴AH=2HO，从而CH=2AH又∵HF∥AB，∴CF=2BF
从而EF⊥AD⇔CF=2BF∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD
边长已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面的为a的正方形,侧棱AA1为b,
、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形,O为菱形ABCD的中心,∠BAD=
在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分
如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,O是底面A1B1C1D1的中心,那么
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点
在正方体ABCD-A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心．
已知边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1,O为底面A1B1C1D1的中心,E为棱A1B1上的一点,且AE+EO的长
如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD 求证 CA1⊥
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O、O1分别为四边形ABCD、A1B1C1D1的中心,
已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体,o1是底面A1B1C1D1的中心,M是BB1上的点,
如图,O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心,M是对角线A1C和截面B1D1A的交点,
如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长和侧棱长均为1，且满足∠BAD=60°，O1为A1C1的中点．