设函数f(x)在（-∞,+∞)内有定义,且对任意的实数x和y,满足f(x+y)=f(y)e^x+f(x)e^y,又已知f

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 05:05:07

设函数f(x)在（-∞,+∞)内有定义,且对任意的实数x和y,满足f(x+y)=f(y)e^x+f(x)e^y,又已知f'(0)=e.
求f'(x)的表达式.

令x=y=0,得f(0)=0.由倒数的定义得
f'(x)=lim(y趋向于0)[f(x+y)-f(x)]/y
=lim(y趋向于0)[f(y)e^x+f(x)e^y-f(x)]/y
=lim(y趋向于0)[f(y)e^x]/y+lim(y趋向于0)[(e^y-1)f(x)]/y
=lim(y趋向于0){e^x[f(y)-f(0)]}/y+f(x)
=f'(x)e^x+f(x)
=e^(x+1)+f(x)
即f'(x)-f(x)=e^(x+1),由通解公式得
f(x)=xe^(x+1)+Ce^x.又f(0)=0,可得C=0.
故f(x)=xe^(x+1).所以f'(x)=(x+1)e^(x+1).

已知定义R在上的函数f(x)对任意实数x.y恒有f(x)+f(y)=f(x+y)且当x>0时,又f(x)0时,又f(x) 设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f 已知定义在R上的函数F（X)对任意实数X,Y,恒有F(X)+F(Y)=F(X+Y) 且当X大于0时,F(X)小于0,又F 已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，且对任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（2）= 设f(x)是定义在R上的函数,且满足f（0）=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求设f（x）是定义在R上的函数,且满足f（0）=1,并且对任意实数x,y,有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）,求设f(x)是定义在R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立求设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),1. 已知定义在R的函数f(x)对任意实数x、y,都有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),且当x＞0时,f(x)＜0,又f(1) 已知函数f(x)是定义在R上的减函数,且对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1.若f（X）设定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且满足f(1)=1,求f(x)的