作业帮求二重积分换元公式的证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/20 14:21:16
求二重积分换元公式的证明
讲一下思路也行,不过要尽可能浅显易懂,且要真正涉及证明的核心,
讲一下思路也行,不过要尽可能浅显易懂,且要真正涉及证明的核心,
用曲线积分表示面积,D = ∫∫dxdy = ∫xdy = ∫x(t)y'(t)dt = ∫x(ξ(t),η(t)) (y/dξ * ξ'(t) + dy/dη * η'(t)) dt,其中x(t) = x(ξ(t),η(t)),ξ,η是新坐标,而上式又等于曲线积分∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)
再用格林公式∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)
= ∫∫( d(xdy/dη)/dξ - d(xdy/dξ)/dη )dξdη
= ∫∫(dx/dξ * dy/dη - dx/dη * dy/dξ) dξdη
= ∫∫|J| dξdη
如果J
再用格林公式∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)
= ∫∫( d(xdy/dη)/dξ - d(xdy/dξ)/dη )dξdη
= ∫∫(dx/dξ * dy/dη - dx/dη * dy/dξ) dξdη
= ∫∫|J| dξdη
如果J