作业帮数列(数列的通项公式)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 15:47:44
数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立，记bn=(4+an)/(1-an)
(n∈N+),
(1) 求数列｛an｝与数列｛bn｝的通项公式
(2) 设数列｛bn｝的前n项和为Rn，是否存在正整数k,使得Rn≥4k成立？若存在，找出一个正整数k,若不存在，请说明理由
(3) 记Cn=b(2n)-b(2n-1),设cn的前n项和为Tn,求证：对任意正整数n都有Tn
(n∈N+),
(1) 求数列｛an｝与数列｛bn｝的通项公式
(2) 设数列｛bn｝的前n项和为Rn，是否存在正整数k,使得Rn≥4k成立？若存在，找出一个正整数k,若不存在，请说明理由
(3) 记Cn=b(2n)-b(2n-1),设cn的前n项和为Tn,求证：对任意正整数n都有Tn
解题思路： 先算an,再算bn
解题过程：
(1)an=5Sn+1
a(n-1)=5S(n-1)+1
所以an-a(n-1)=5an,an=-a(n-1)/4,所以{an}是等比数列
a1=5*a1+1,a1=-1/4
所以an=(-1/4)^n
bn=[4+(-1/4)^n]/[1-(-1/4)^n]
(2)存在，取k=1。
bn>0恒成立
取b1=3,b2=13/3，当n>1时，Rn>4是肯定成立的。
(3)cn=10/16^n*1/[(1-1/16^n)(1+4/16^n)]
观察分母因为16^(2n)>16^n，所以可以变形出
(1-1/16^n)(1+4/16^n)>(1-1/16^n)[1-1/16^(n-1)]
所以cn<2/3*{1/[1-1/16^(n-1)]-1/(1-1/16^n)}－－－§1
如果右边的式子§1求和，前后就抵消了
所以，从第二项开始放缩，保留c1
Tn<c1+2/3*[16/15-1/(1-1/16^n)]－－－§2
因为右边的式子§1是恒大于0的，所以§2是小于这个式子的极限（n趋近无穷）
§2的极限是c1+2/3*(16/15-1)=62/45<3/2
所以Tn<c1+2/3*[16/15-1/(1-1/16^n)]<62/45<3/2
最终答案：略
解题过程：
(1)an=5Sn+1
a(n-1)=5S(n-1)+1
所以an-a(n-1)=5an,an=-a(n-1)/4,所以{an}是等比数列
a1=5*a1+1,a1=-1/4
所以an=(-1/4)^n
bn=[4+(-1/4)^n]/[1-(-1/4)^n]
(2)存在，取k=1。
bn>0恒成立
取b1=3,b2=13/3，当n>1时，Rn>4是肯定成立的。
(3)cn=10/16^n*1/[(1-1/16^n)(1+4/16^n)]
观察分母因为16^(2n)>16^n，所以可以变形出
(1-1/16^n)(1+4/16^n)>(1-1/16^n)[1-1/16^(n-1)]
所以cn<2/3*{1/[1-1/16^(n-1)]-1/(1-1/16^n)}－－－§1
如果右边的式子§1求和，前后就抵消了
所以，从第二项开始放缩，保留c1
Tn<c1+2/3*[16/15-1/(1-1/16^n)]－－－§2
因为右边的式子§1是恒大于0的，所以§2是小于这个式子的极限（n趋近无穷）
§2的极限是c1+2/3*(16/15-1)=62/45<3/2
所以Tn<c1+2/3*[16/15-1/(1-1/16^n)]<62/45<3/2
最终答案：略