设H是有限群G的一个子群.p是|G|的最小素因子.如果|G|/|H|=p,试证H一定是G的一个正规子群.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 07:35:26
设H是有限群G的一个子群.p是|G|的最小素因子.如果|G|/|H|=p,试证H一定是G的一个正规子群.
因为|G|/|H|=p,所以H的左陪集有p个.
令X为H的全体左陪集所成的集合:X={H,a1H,a2H,...,a(p-1)H}.
定义群作G在X上的群作用为 g(xH)=(gxH),g∈G.
因此有同态σ:G→S(X)
(这里S(X)表示集合X上的置换构成的对称群.由于|X|=p,所以|S(X)|=p!.)
上面括号里的内容不清楚可以追问.
由群同态基本定理可得G/(Ker σ)≌Imσ[G:H]=p.
而[G:Ker σ]又整除p,则Ker σ只能等于H.
说明H一定是G的一个正规子群.
令X为H的全体左陪集所成的集合:X={H,a1H,a2H,...,a(p-1)H}.
定义群作G在X上的群作用为 g(xH)=(gxH),g∈G.
因此有同态σ:G→S(X)
(这里S(X)表示集合X上的置换构成的对称群.由于|X|=p,所以|S(X)|=p!.)
上面括号里的内容不清楚可以追问.
由群同态基本定理可得G/(Ker σ)≌Imσ[G:H]=p.
而[G:Ker σ]又整除p,则Ker σ只能等于H.
说明H一定是G的一个正规子群.
设有限群G恰好具有两个n阶子群H,K,并且G由H,K生成,证明H,K是G的正规子群
设G是群,a是G中一个元素.令 H = { x∈G∣ax = xa }. 试证H是G的一个子群.急!
群和子群有这个一个题,实在不懂,有哪位大虾帮帮忙证明,设G是交换群,证明G中一切有限阶元素所成集合H是G的一个子群
设H,K分别是群G的阶为3,5的子群,证明H∩G={1}
设H是群G的子群,证明:对任意的g属于G ,集合K={g^-1hg|属于H}是G的子群,并证明H与K之间群同构
群的证明题设K 和H 都是群G 的子群,试证,若H· K 是G 的子群,则K· H =H·K .
抽象代数证明:设H、K是群G的子群,则(H:H∪K) hK
离散数学(子群)设f和g都是到的群同态,且H={x|x∈G1,f(x)=g(x)},证明H是G1的子群.
若循环群G的阶是n=pq,p、q是素数.其中子群Gp和Gq的生成元分别为g、h,则g*h是G的生成元.以下推出悖论
证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H
求抽象代数的一个证明试证:群G的任意有限子半群是子群.
证明任一个群G不能是两个不等于G的子群的集合