二阶线性递归数列A（n+2）=c1A（n+1）+c2An

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 03:59:11

二阶线性递归数列A（n+2）=c1A（n+1）+c2An
若特征方程两根并非实根（即无实根）,是否一定为周期数列?

不一定：
1.构造一个特征方程 x^2-2x+4=0 的两根 x1=1+√3i,x2=1-√3i,使
an=(1+√3i)^n+(1-√3i)^n=2^(n+1)*cos(nπ/3)
则an不是周期数列
2.构造一个特征方程 x^2-x+1=0 的两根 x1=（1+√3i)/2,x2=(1-√3i)/2,使
an=[(1+√3i)/2]^n+[(1-√3i)/2]^n=2cos(nπ/3)
则an是周期数列
3.周期数列的条件：c1,c2∈R,x1,x2互为共轭复数,|x1|=|x2|=1,x1的幅角为π的有理数倍.可以推导验证一下.
再问：那如果用不动点法做的题目,不动点方程无实根,是不是周期数列?
再答：对于二阶线性递归数列A（n+2）=c1A（n+1）+c2An，我们已经有非常完美结果：特征方程x^2=c1x+c2 的两根为x1,x2且x1≠x2,则有 An=a*x1^n+b*x2^n 其中a,b 根据两个初始值可以解得。因此在这种情况下一般采用特征方程的方法。至于你所说的不动点的问题，你可以考虑构造一个满足条件（无实根）的递推数列，然后确定其中的一些待定系数，或找出需要的其它条件。

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