已知a+b>0,n∈正整数、且为偶数,证明 b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 20:26:17
已知a+b>0,n∈正整数、且为偶数,证明 b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b
用排序不等式做最快
由a+b>0 不妨设a>b 若b为负数 显然|a|>|b| 又n为正偶数
故a^n>b^n
故1/a^nb n-1为奇数 故有b^(n-1)=a^(n-1)/a^n+b^(n-1)/b^n=1/a+1/b=右边
当且仅当a=b时取等号
故不等式成立
背景知识:
排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式.
设有两组数 a 1 ,a 2 ,…… a n,b 1 ,b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n+……+ a n b n≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1,t2,……,tn是1,2,……,n的任意一个排列,当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立.
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系.可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an,确定大小关系.
使用时常构造一组数,使其与原数构成乘积关系,适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明.
以上排序不等式也可简记为:反序和≤乱序和≤同序和.
由a+b>0 不妨设a>b 若b为负数 显然|a|>|b| 又n为正偶数
故a^n>b^n
故1/a^nb n-1为奇数 故有b^(n-1)=a^(n-1)/a^n+b^(n-1)/b^n=1/a+1/b=右边
当且仅当a=b时取等号
故不等式成立
背景知识:
排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式.
设有两组数 a 1 ,a 2 ,…… a n,b 1 ,b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n+……+ a n b n≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1,t2,……,tn是1,2,……,n的任意一个排列,当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立.
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系.可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an,确定大小关系.
使用时常构造一组数,使其与原数构成乘积关系,适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明.
以上排序不等式也可简记为:反序和≤乱序和≤同序和.
已知Un=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+...+ab^(n-1)+b^n(n∈N*,a>0,b>0),
已知:a.b是正实数,n是正整数,n不等于1,求证 a^n+b^n>=a^(n-1) b+a b^(n-1)
已知cn=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2...+b^n(n∈N*,a>0,b>0)
(1)(a-b)^2n-1乘以[(b-a)^n]^2(n为正整数)
级数(1/b)^n收敛,a>b>0,证明级数1/(a^n-b^n)收敛
已知:1/n(n+1)=A/n + B/(n+1) 求A,B的值
利用等比数列求和公式证明:(a-b)(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+b^n)=a^(n+1)-b
利用等比数列求和公式证明:(a+b)(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+.+b^n)=a^(n+1)-b^
高中数学若a>b>c,n为正整数,且,1/(a-b)+1/(b-c) >= n/(a-c)恒成立,n的最大值为
1.S=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+ab^(n-1)+b^n(n∈N*,ab≠0)
a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],n是整数
已知2^n+1=a^b n、a、b都是正整数求n所有的值