不定方程x²-2y²=5的正整数解(x,y)的组数有多少

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 04:42:08

一个整数如果不能被 5 整除,那么它的平方被 5 除的余数只可能是 ±1,
因此模 5 知,左边 ≡ 0,±1,±2,而右边 ≡ 0 ,(mod 5) ,
所以 x ≡ y ≡ 0 (mod 5) ,
设 x=5m,y=5n ,则 5(m^2-2n^2)=1 ,
上式不可能成立,
因此满足方程的 (x,y) 不存在,即解数为 0 .
再问：用初中方法…
再答：一个整数被 5 除的余数只可能是 0、1、2、3、4 ，而 0^2=0 ，1^2=1 ，2^2=4=5-1 ，3^2=9=10-1 ，4^2=16=15+1 ，所以一个整数的平方被 5 除的余数只可能是 0、1、-1。（1）如果 x、y 都是 5 的倍数，那么左边能被 25 整除，而右边不能，因此不成立；（2）如果 x、y 不都是 5 的倍数（也就是至少有一个不能被 5 整除），那么左边被 5 除的余数只可能是 0-2、0+2、1-0、1-2、1+2、-1-0、-1-2、-1+2 ，都不是 5 的倍数，而右边是 5 的倍数，因此不成立；综上可知，没有整数（x，y）适合等式，也即整数解数为 0 。（自然地，正整数解数也是 0）

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