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如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/04 02:09:49
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．
（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；
（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

(1)证明见解析. ．（2）当CM的长是 或 时，△OMN与△BCO相似．

试题分析：（1）易证∠OCB=∠B，由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，从而得到△COF是等腰三角形，过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，由等腰三角形的三线合一可求出CH，易证△CHF∽△BCA，从而可求出CF长．
（2）题中要求“△OMN与△BCO相似”，并没有指明对应关系，故需分情况讨论，由于∠DOE=∠B，因此△OMN中的点O与△BCO中的点B对应，因而只需分两种情况讨论：①△OMN∽△BCO，②△OMN∽△BOC．当△OMN∽△BCO时，可证到△AOM∽△ACB，从而求出AM长，进而求出CM长；当△OMN∽△BOC时，可证到△CON∽△ACB，从而求出ON，CN长．然后过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，可以求出NG．并可以证到△MGN∽△ACB，从而求出MN长，进而求出CM长．
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，
∴OC=0B=OA=5．
∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．
∵∠DOE=∠B，
∴∠FOC=∠OCF．
∴FC=FO．
∴△COF是等腰三角形．
过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，

∵FC=FO，FH⊥OC，
∴CH=OH= ，∠CHF=90°．
∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，
∴△CHF∽△BCA．
∴ ．
∵CH= ，AB=10，BC=6，
∴CF= ．
∴CF的长为 ．
（2）①若△OMN∽△BCO，如图2，

则有∠NMO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠NMO=∠B．
∵∠A=∠A，
∴△AOM∽△ACB．
∴ ．
∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
∵AO=5，AC=8，AB=10，
∴AM= ．
∴CM=AC-AM= ．
②若△OMN∽△BOC，如图3，

则有∠MNO=∠OCB．
∵∠OCB=∠B，
∴∠MNO=∠B．
∵∠ACO=∠A，
∴△CON∽△ACB．
∴ ．
∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，
∴ON= ，CN= ．
过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，
∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，
∴∠MNO=∠MON．
∴MN=MO．
∵MG⊥ON，即∠MGN=90°，
∴NG=OG= ．
∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，
∴△MGN∽△ACB．
∴ ．
∵GN= ，BC=6，AB=10，
∴MN= ．
∴CM=CN-MN= - = ．
∴当CM的长是 或 时，△OMN与△BCO相似．
【考点】1.圆的综合题；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线；4.勾股定理；5.相似三角形的判定与性质．
如图,在三角形ABC中,角ABC与角ACB的平分线交于点O,OD平行AB交BC于D,OE平行AC交BC于E,若BC=10 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC为直径的⊙O交AB于D，AC、DO的延长线交于E 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,且AC=b,BC=a,AB=c,∠A与∠B的平分线交于点O,O到AB得距离为O 如图,在Rt△ABC中,角ACB=90°,以AC为直径的圆O与AB边交于点D,过点D作圆O的切线,交BC于点E 有关圆的计算如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,以AC为直径作圆O交AB于E,D为BC上一点 （2014•博白县模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC为直径的⊙O交AB于D， 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥BC交AB于E,点F在DE上,且AF=CE.(1)求证： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=35，则D 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,O是边BC的中点,OE平分∠AOB且交AB于点E,OD平分∠AOC且交AC于点D, 已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是BC的中点,BF‖AC交CE的延长线于点F,DF⊥AB于 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AB的垂直平分线EF交BC于点F 已知如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD于E,交AB于F,连接DF,求证：∠