在△ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EF⊥BC,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点.求证：∠

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 19:41:52

在△ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EF⊥BC,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点.求证：∠GBM=90°

设AB=a,BC=b则
因为AD⊥BC,由勾股定理得
AD =√ (AB^2-BD^2)=√[a^2-(b/2)^2]
因为AD⊥BC,BE⊥AC,由三角形面积公式得
BE=AD*BC/AC=b/a *√[a^2-(b/2)^2]
因为BE⊥AC,由勾股定理得
CE =√(BC^2-BE^2)=b^2/(2a)
由AD⊥BD,BE⊥EC易知△BDH与△BEC相似,所以
HD=BD*CE/BE=b^2* √[a^2-(b/2)^2]/{4*[a^2-(b/2)^2]}
所以
AH=AD-HD=(4*a^2-2b^2)* √[a^2-(b/2)^2]/{4*[a^2-(b/2)^2]}
由AM=MH知
MH=AH/2=(2*a^2-b^2)* √[a^2-(b/2)^2]/{4*[a^2-(b/2)^2]}
因为EF⊥BC,BE⊥EC,DG=EF,由三角形面积公式得
DG=EF=BE*CE/BC=b^2/(2*a^2) *√[a^2-(b/2)^2]
所以
MD=MH+HD=2*a^2* √[a^2-(b/2)^2]/{4*[a^2-(b/2)^2]}
所以
MD*DG=b^2/4=BD^2 (这是直角△斜边上的高的计算公式)
又因为BD⊥MG
所以△MBG是直角△
所以BG⊥BM即：∠GBM=90°
如果觉得直角△斜边高公式没学过,可以由
MD*DG=BD^2
证明△BDM与△GDB相似
所以∠MBD=∠BGD
又因为BD⊥MG
所以∠BDM=90度
所以∠MBG=∠MBD+∠GBD=∠BGD+∠GBD=180度-∠BDM=90度
所以BG⊥BM即：∠GBM=90°

在△ABC中,AB=AC,高AD、BE交于点H,AK=KH,EF⊥BC于点F,G在AD延长线上,DG＝EF,证BG⊥BK 请用平面几何知识证明在△ABC 中,AB = AC,高AD、BE 相交于K,EF⊥BC,延长AD 到G,使DG = EF 在△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于点D,P为AD的中点,延长BP交AC于点F,EF⊥BC于点F 求证：EF 在RT△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC,P是AD的中点,延长BP交AC于点E,EF⊥BC于F,求证：EF² 如图,在平行四边形ABCD中,延长AB到E,使BE=1/2AB,延长CD到F,使DF=DG,EF交BC于G,交AD于H, 如图,在平行四边形ABCD中,延长AB到E,使BE=1/2AB,延长CD到F,使DF=DG,EF交BC于G,交AD于H 在△ABC中,D是BC的中点,EG平行BC,分别交AB、AD、AC于E、F、G.求证:EF=FG 在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,连接BE并延长交AC于点F,DG是三角形BCF的中位线.证EF=1／在四边形ABCD中,AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,H为EF的中点,连接GH.求证：GH⊥EF 已知:在四边形ABCD中,AB=DC,E,F分别是AD,BC的中点,GH⊥EF与AB,DC分别交于G,H,O为垂足,求证 △ABC中AB＜BC,D在AC上,CD＝AB,E、F为AD、BC中点,连接EF并延长与BA的延长线交于G点,求AE=AG 在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC,F是BC延长线上的一点,垂足为M,EF交AB于点P,交CB的延长线于点F.